第1章向量与复数 1.1向量的线性运算和坐标系 内容提要 1.向量 既有大小，又有方向的量称为向量.记为a或d,向量a的长度la称为向 量的模，长度为1的向量称为单位向量，长度为0的向量称为零向量，记为0或 O,和向量大小相同、方向相反的向量称为向量a的负向量，记作一a 2.向量的坐标表示 设e1,e2,e3是三个不共面的向量，对空间中的任一向量a都存在唯一的有序 实数组(x,2),使a=xe1+ye2十e3,称(r,z)为向量a在基e1,e2,e3下的仿 射坐标或坐标 设向量a在空间直角坐标中的三个坐标轴Ox,Oy,Oz上的坐标（投影）分 别为x, 向量的模为：a=√2+y2+2 利用向量运算可以简化许多几何问题计算，其思想是将向量直观的几何性质 转化为简便的代数运算. 3.向量的加法和数乘 向量加法的几何描述：平行四边形法则 向量加法和数乘的坐标表示：设a=(c1,c2,x3),b=(幼，2,3)，入为一个 实数 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 向量表示： a+b=(x1+1)e1+(2+2)e2+(x3+)e3, λa=λx1e1+入x2e2+λxge3 分量表示： (x1,x2,工3)+(1,2，)=(c1+1,2+2,3+3), A(x1,x2,x3)=(入x1,x2,入x3) 4.向量的方向余弦 设向量a=OA=(a1,2,ag)与坐标轴Oz,Oy,Oz的夹角分别为a,B,Y,则 cosa,cosB,cosy称为向量a的方向余弦. 2 (cosa,cos B,cosy)= Va+a+aG'Va+a+a'√a+a号+a 并有 cos2a+cos2 B+cos2y=1. 5.向量的共线与共面 向量a,b共线的充分必要条件是存在不全为零的实数入，山，使得 Aa+jb=0. 向量α，b,c共面的充分必要条件是存在不全为零的实数入，4，山，使得 λa+b+vc=0. 设a1,a2,.,an为一组向量，入1，入2，.，入n为实数.称向量 a=入1a1+入2a2+.+入.a 为向量a1,a2,.,an的线性组合。 如果存在不全为零的实数入1，入2，·，入，使得 A1a1+2a2+.+入nan=0, 称a1,a2,.,an为线性相关 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 反之，不是线性相关的一组向量称为线性无关.也就是说，如果上式成立，则 入1=入2=.=入m=0. 点评在空间解析几何中引入向量共线、共面、线性相关的基本概念，为线 性代数的难点（线性相关和线性无关）内容作了铺垫，也为学习维向量空间的 内容提供了直观的几何实例，益处多多 例题分析 例1.1求点P(3,-4,5)到坐标原点以及各坐标轴的距离. 解设点P到坐标原点、x轴、y轴和z轴的距离分别为Lo,Lx,Ly,L,则 L0=V32+(-4)2+5=5√2， Lx=V(-4)2+5=√4L, Ly=V32+5=34, L.=V32+(-4)2=5. 例1.2求z轴上一点，使与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)的距离相等 解设所求的点为M(0,0,之，则由两点间的距离公式可得 1AM=√42+(-1)2+(z-7)2=V66-14z+22 1BM=V(-3)2+(-5)2+(2+2)2=V38+4z+22 由题设AM=BM,所以 66-14z+22=38+4z+z2, 解得z=14/9,故所求点为(0,0,14/9). 例1.3设向量α与各坐标轴的正向的夹角都相等，求此向量的方向余弦， 解由假设知α=B=Y,故得 cos2 a+cos2 B+cos2y=3cos2a 1, 所以 1 c0sa=c0s=c0sy=± 例1.4求点M(a1,b1,c)关于点N(a2,b2,2)的对称点. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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线性代数与解析几何学习辅导 解设所求点是(x,弘，)，则 +a= x=2a2-a1 2g+61)=b2 y=2b2-b1 22+)=c2 z=2c2-C1 故所求点是(2a2-a1,2b2-b1,2c2-g1). 例1.5已知a与轴Ox和Oy所夹角分别为a=60°，B=120°，且a=2. 试求a坐标. 解由题意得 =1-coa-co1- 所以 2， a=(2c0s60°，2c0s120°，2cosy), 故 a=(1,-1,±V2) 例1.6设单位向量07与z轴的方向角为30°，另外两个方向角相等，求T 的坐标. 解设T点的坐标为(x,2),方向角为α，B,Y.由 cos2 a+cos2 B+cos2y=1, 有 2c0s2a+3 =L,cosa=cosB=±y2 又1OT川=1，得 红，)=士2 42 T点的坐标为 2v2 442 或23 4-42 例1.7对任意非零向量a,b,c,证明：向量a+b+c,a-b-c,a+2b+3c线 性无关 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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第1章向量与复数 证设未知量入，y对a,b,c有线性组合式 λ(a+b+c)+u(a-b-c)+v(a+2b+3c)=0, 化简得 (A+4+y)a+(A-4+2v)b+(A-4+3w)c=0. 列出未知量的方程组 入+u+V=0 入-4+2w=0. (入-4+3w=0 解方程组，得到入=0,4=0，=0，方程组只有零解，因此三个向量线性无关 1.2 向量的数量积、向量积、混合积 内容提要 1.向量的数量积和投影 两个向量a与b的数量积为一个实数，数量积也称为点乘、内积.它等于两 个向量的模长与两个向量夹角的余弦的乘积，记为a·b.如果向量a,b的夹角为 0,则 a.b=lab cos0. 向量a在向量b上的投影Prj6a等于向量a点乘b方向（可正可负）的单 位向量.向量的投影表示为 Pa=a-P（心表示b的单位向量，P=合) 内积也可表示为 a.b=a Prjob=b Prjpa. 在直角坐标系下，设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),内积表示为 a.b=+a262+a3b3. 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要传播
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