24 做积分学數程 (由赝量等于μ的质点放在坐标原点,所得出的牛瞩引力塌蛻是达种样子的、假定引力常数 用1来代替)。 歆算当质量m=的质点自位蹬A位移到位置B时(不通过原崑!)場的功。 解以工表点的坐标,对力与x軸的夹角我們有: cos日 6n6二 y 所力的射影为 X=-μ y 一# 而功可表作曲积分 dr+gdy (AB) 但不难觅, d+yd=d王 且如将x用它們的表示式(4)来代大排合 +y=√[g(t]2+[(t 时,这一等式仍旧成立。故 A=4[过 箕中y4,TB分别表示原点到点A及B的距离。 这里,功与軌道(AB)的形状无关,仅与点A,B的位魇有为。 4)由力 形成一,共方向与位置向量的方肉夹+2的角。 武求当质点沿下列曲由点A(,0)位移到B(0,a)时場的功的大小:(B)周z2y2= 〓a2的,(0)星肜機x3+}3〓a3的弧。 提示在这一情况下, sin日 X=+Ay, y=k 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲积分·斯底尔吉斯积分 所以 A k=dy-y dr (AB) 答(a)a2;(6)3m3k 16 15)同上題,但 答在两种情形下A= 525用取在折上的积分的這近法在許多情形下会遇到一种 曲幾积分,用取在折癮上的积分来逼近它非常方便。这种逼近法建立 在下一命題上,这一命题我們以后常常要用到。为簡单起見我們这里 只酎論卒面曲幾的情形,但也不难变到坐間曲幾的情形。 預备定理獸函数P(r,y)及Q(x,y)速额于某开区域(B)内,而 (L)是在(E)内的一曲*。如作(L)的内接折能(A),則当各段小弧直 徑最大音[316]趋近于禁时我們有 lim pda+@dy=Pdx+edy △) 只要討論「P及{P就够了,对积分qv及qy推理完全是 〔L 一样的。設内接于(D)的折能(4)的頂点为 A≡Ao,A1,…;A、,A;+1,…,An=B 以x;P表xP在点A的值。耠定任意一数6>0后,命各小弧的道 徑井常小,使1)連辕函数P沿雜段a;A;+的振动<且2)积分和 P△x4与它的极限{Pb之差亦小于b 显然,我們有 *我們詖曲桃是以参数力程形状(4)铪出的,其中医数卿及ψ速额且有分段遑模的寻 α。这就保证了在下面等式中曲耧积分的存在此外,曲耧也就是可求长的[820] 博士家园论坛刘伟
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26 撒积分学教程 P Pd 且另一方面, P△ Pid 所以 Pda ∑ EP-Pildx. (d) (A;A1 但右端的第一项与积分P相差小于8参看2)],而第二項共絕对值 不会超过B∑A:A:[参看1),也就是更<L·8,共中L是曲幾(L)的 长 于是,最后, dx-|Pr<8(1+L) 这就证明了我們的衝。在下一节中我們将寻求它的应用。 626用曲能积分計算面积我們現在来指出,怎样倍(第二型的 曲錢积分来扑算平而图形的面 积 肯先我們来考察(图 图形(D)=PQES,它是由平行 子∥軸的二疸秘段PS及QR y (在别恬形时可箱为一点)与 b两秘PQ及R起来的,而 图10 这两曲幾的每一个与乎行于y 軸的任一直錢仅交于一点敢曲(PQ及(SB)的显方程为 (y):y=(d), (SR): y=Y(c), 且c在区問[t2b上变动。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲餞积分·斯底尔吉斯积分 将“曲边梯形”PQBS的面积D看作两“曲边梯形”wRS及tbQP 的面积的差时,我們就可以写 D=lY(a)dx-lyo(a)dr 另一方而,由公式(7), d ydr=Y()de 所以 D yda+I ydar; (P) 这里我們已糨在第二个积分前面变了号,但同时却也改变了积分的方 向。若在等式右端加上等于零的两积分 gda及ga (RQ) 因为它們是沿着行于軸的直秘段而取的),則等式弁未破坏。粘 果得 D yd (PSRQP) 且积分路栈是按积分号下文字的次序前进的。 如以(D)表区域(D)的边界,則按第58目末尾的定,号「yde 表示以正向取的积分。在坐标軸,如图10所朵用的,是右手定向时,这 一环行方向使区域在左手边,而同时方向 PASRQP使这一区域在右手 边。故 gda=- dac (PSRQP) 因此, yda 8) 現在假定,虽然图形(D)是由复杂的边界園成的(甚至边界是 博士家园论坛刘伟
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徽积分学教翟 由若干曲錢所組成),但这图形用卒行于軸的谊糙恒可分成有限个 如上所考察的小块(图11)。每一小块有一公式(8)所表出的面积。 将这些等式相加,在左边我 們就得到整个图形(D)的面 积,而右边是散布在各部分 边界上的积分的和。但这些 积分可化为取在总边界(L) 上的一积分,因为沿每一輔 助篯段的积分等于零。因 图11 此,在这种情形下面积(D) 仍以公式(8)表示 对于由平行于x軸的两直幾段PQ及SB(图12)与两曲幾 (PS) (c≤y≤d) (QR): =X(y) 所圍成的图形PQBS,用类似的推理可得公式 D d 9) 并且,如果互換x,y軸的地位,它也可直接由公式(8)推出。这时符号 必須改变,这是因为环行的正向 与坐标軸地位互换无关,仍旧完 全与前面一样。 容易明白,对于較复杂的图 团D 形,即用平行于x軸的谊幾可将 它分成有限个第二型的“曲边梯 形”者,公式(9)依然成立。 所得精果事实上已有完全足 图12 够的普性了。但是,在許多具体情况中要去檢驗上面的图形是否可 博士家园论坛刘伟
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