第十五章曲幾积分·期底尔吉斯积分 1 9 路的正向的定义(图6,a)。实在說来,这一定义仅对近似于圆周的閉 路扌非常清楚。故更正确地我們应該这样規定:当一人沿(簡单)閉路 循一方向环行时,如由閉路所的区域靠近观蔡者的部分总是在观察 者的左手边时,这一方向就称为曲钱的正向(图6,a)。在平面的左于 定向的情形下,順时針向环行閉路就是正的,所以区域总是在观察者 的右手边(图6,6)。 我們注意,平面中坐标軸本身的安排恒与孕面的定向有联系:在 反时針句》顺睛針向 图6 下面的右手定向时,将x軸按反时針向轉90°就得到y軸;而在左手 定向时,就要按順时針向轉〔参看图7,a,6)。在第一种情况下,坐标系 本身也称为右手的,而在第二种情况下, 称为左手的。 在作这些說明后,今后我們永远这 样規定好:如积分道路(K)是一筒单閉 曲鍵,則当記号 Pda+Qdy a∫ 沒有指明閉路环行的方向时,我們恒认 为它是沿正向所取的积分。当然,这一旎定井沒有限制我們必要时考 祭沿負向取积分,不过我們用 博士家园论坛刘伟
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微积分学教程 Pda+-Qdy 来表示它罢了。 例1)假如(K)是抛物機y=自横坐标x=0的点到横坐栎x=2的东的一段, 就求积分【=「(x2-y2)dr 解因为积分的曲是用显方程出的,故可应用公式(7);得 r=1( Ddt 2)求积分J=(x2-B2)cy,其中(K)代表上题中的曲键, 解达里应該利用公式(7“)。注意由曲钱方程知a2=且"的变动范国是0到·我 围有 J={(y-2d=s0 3)計算取在联精点饿(0,0)与A(1,1)的一道路 D)上的曲秘积分 H=|2cy d+tidy 安的值,如道路(L)是:(a)直辘=x,()抛物筏=x2 图8 (B)抛物x=y2,()立方抛物粳v=x3(图8)。 解(a)因为如=d",故2rgdx+r4d=3r2dr=1,()dy=2rtlr, I=4r3dx=1;(B)dz=2yd,n=15n4d=1,(r)d=3x2dx,H=}5:dx=1 4)对这些同样积分踣,計箅曲糇积分 G=ry dx +(y-x)dy 答(&) (6) (r) 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲糖积分·斯底尔吉斯积分 21 5)求曲栽积分 -驴 如取联秸息O(0,0)及A(1,1)的下列各曲粳之一《参看图3)作为积分道路:(a)直镘段 OA(3=x);(6)由z軸(y=0)的一段OP及直機x=1的一段PA所粗成的折OPA(B) 由軸(=0)的一段O及直蠅=1的一段φA所組成的折癃OQA 解(a)因g=x及山y=d,故 I=(r+2)dn、 (6)在这一惰况下很自然地分积分道路为两段 r I1+I2 (OP4】 toP) 沿OP我們有:p=0及d=0,所以 沿PA有:x=1及d=0,放 I2=12ydy=1 因此,最后I=8 (B)与就类似,得(因为岩栽段OQ的积分等于) (e-1)dr 6)同祥求积分 =(yi+2xy)dx+(2ry+. a)dy 簪在所有情形下J= 附注者可能已注意到例3),6)的果与4)5)的秸果同的差异。在3)与6)中所 考察积分的大小似乎与联粘起点及魅点的道路无关。相反,在例4)与5)中我們遇到的积 分共值与恕点及点用什么样的辐联棘关。以后[§3]我們卖特别来酎論这一說 明它的重买性。 博士家园论坛刘伟
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微积分学教程 7)計算积分 (x2+2.ry)dg C 共中(C)表示循反时针向的上椭国a+=1 解利用橢国的参数表示式:x= a cos t,y= h sin t,这里t由0变到丌。将℃,對用t 的表示式代人井用 bcos tdt来代dly,得[由公式(5*)] I=I(c2 cos2 t+2ab cos t sin t)b cos t dt= t dt+2.sb2 t sin t dt 4 8)計算积分 K=yad 共中()是一圓周,匣为1而中心在(a)坐标原点或(6)点(1,1)。 解(a)自銎数方程x=c8t=smt出发,其中扌由0变到2π,由公式(6)我們有 (sin3tfcosat)dt=0 (6)同样,升叁数裘示式 t-1=cost, y-1=sin t 时,我們得 K ++gini+cos3)dt 9)求积分 de a ix2+2Bxy+Cy2 (A,C E AC-B220) 共中(K)是周x2+y2=r2。 提示比照380,14)。 10)算积分 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲秘积分·斯底尔吉斯积分 如果(A)是摆棲 r=act-sint), y=a(1-cost) 自点+丌到点=的一段。 想1-[∞-mn)-=(+12①)-12 11)計算积分 idg -side x3千 如果(K)是星形糙 工零aC083t,=sin3 自点A(a,0)到点B(0,a)的一段。 I=3a sin ztcoaatdt=3as 6 12)試求质量为m的质点M由位置A位移D 到位武B时由重力所产生的功。在此处假定位移是 在通过A及B的某鉛垂面内进行的(图9) 解在所提到的卒面內取坐标軸,使梦轴朝下; 这时跤点A及B分别有坐标xA,刮A及x,。重 力在坐标轎上的射影显然是 Xs0. y 其中g=981米/秒2是重力加速度。 我(4)是联精A与B的軌道(K)的方程,且t由 图9 a变到β.利用功A的曲积分示式(3),在現在的情况下我們有 A=mgdy=mg dp(t)=mgL(B)-y(a)]=mg(yB-yA). 因此,功仅与点M的彰止及开始位置間高度的差有关。 3)知一面的力,是由这样的力形成的:它的方向向着坐标原点,它的大小与自 原鼠判它的作用点距萬r的乎力成反比 博士家园论坛.刘伟
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