第十五章曲機积分·斯底尔吉斯积分 能分割为上逃特殊类型的小块往往很麻煩。所以我們来证明另一个, 亦是非常一般的,但容易驗证的条件,在这一条件下公式(8)及(9)可同 时应用。 我們假定,区域(D)是由一任意的分段光滑的曲秘(L)園成的。因 为这一区域是可求面积的[328],故可作一在里面的及一在外面的多角 形区域(d)及(B)使 A<D<B, B-A<8, 共中8是事先耠定的一正数[326。同时也可以假定这些区域的边界 两两无公共点。以8表这些不同边界的点的最小距离L327,二卷第 分册第186頁上的底注]如内接于()作一折(4)使所有小弧的 疽徑<8,这折篯就巳糨不会与多角形(A及(B)的边界有公共点,所 以由它所国的多角形(△)包含着(A)且自身又含于(B)内。于是 1△-Dl<8 故当小弧直徑的最大者趋近于零时,△→D。 現在不难证明,公式(8)及公式(9)都可应用来計算多角形面积△, 即 A (因为用軍行于軸或x軸的谊幾很容易分割这一多角形为这种或那 种类型的梯形)。如变到极限,并引用前一目中的預备定理,最后就得 到:由一个分段光滑的曲能所国图形(D)的面积可任意用上逃公式之 一来表示 但是,在計算面积时,通常朵用另一較对称的公式: wdy-yd.r, (10) 这由公式(8及(9很容易得到[比照330(14)]。 附注容易证明,曲上有有限个奇点时事实上并不改变上面所 博士家园论坛刘伟
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30 微积分学教程 导出的公式的实性。如用这些总的邻城将它們分开,則对图形的共 余部分公式是可以应用的。再只要合这些邻域的直徑趋近于睿变到极 限就可以了。 527例1)求牛軸为a及b的椭国面积 解利用捕国的参数方程:T=aco8t,y±bint(0≤t≤2丌)。由公式(10) D=2 acos t b cos t dt-b sin t(-a sin t)dt=a 在計算曲饑积分时我們利用了公式(6),当排列积分上下限的次序时要注意閉路正向的 环打对应于参数的增加。 2)求是形 3t, sin3t(0≤t≤2m) 的面积。 t dt 3ra2 3)求由外摆 rsaf(l+r)cos mt-in coa(l+m)t3, y=al(l-2n)sin nnt -m sin (l+n)t3 的--拱与对应晦弧所图形的面积(图13)。 解应先沿着曲(ABC)再滑着曲錢(CDA)取积分(10)。在前一情况下我們可利用 上面写呂的方程,介t自0变到2丌。則 rdy-ydc=(2na(1 +m)(1+2m)(1-cos t)dt, =ma2(1十m)(1+2nn) 玉于弧(CDA),则如保持同一参数,它就可用方程 sd sin mt 来表示,这时t自2丌变到0。对应的积分为 因此,所求面积等于 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲楼积分·斯底尔吉斯积分 D=ra2m2(2m+3) 4)試求笛·卡儿叶形钱 十g3=3axy 图的面积(图14)。 解为了要求褥附路的参数方程,合v=tx。則[泰照214(5) 1+ta 1= 1十t 由几何观影很清楚,当参数t自0变到∞时,圈子就描来了(因为t U=tg 8, 其中日由0变到可),我們有 23 2t← (1+t)2 D a2r tdt 及 2!(1+2-2 注意这我們用了无穷限的广义积分,而在 推演公式(6)时我們一认为去数变化的区闆是 有限的。要证期1面做的是正确的步常容易,只 图14 要先引进另一畚数使共变化区是有限的〔例如,角B),再变到参数t=2。 5)同一問題,对曲: ()(x+3)4=ax°y,(6)(x+3)2+1=axnN(7为白然数) 提示引导《=,t自0变到∞。在情形(6)下, (1+t)4 在积分时,自恒等式 2 田发,可使分式分成多簡单的分式。 签(a)D=a0(6)D=2∑(-1)x 般,当代数曲糯的方程有两类齐大項且大数相羞一时这的代換总忌提方便的 博土家园论坛刘伟
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微积分学教程 6)求坐标軸与曲秘 x3+y3=22+y2 所国图形的面积。 D )作为应用一轂公式(10)于計算任何样于的面形*面积的一例,我們最后来對論 这样一問题。 設某一立体的底而是在两邳行雨上的二任怠形状的图形,而侧面是直较而,是由按照 某种規則联精这两图形的边粽上的点而成的直所粗成的(图I5)。求证,立体的体积可 用公式 y=A(q+492+Q2) (11 来表示,其中h表立体的高,,Q2Q是它的底面积与屮閭截面的面积。 我們知道,如橫断面面积是Q=Q(x),則体积I可用公式 V=Q(r)dx 来表(参看83)。另一方面,如Q(x}是至多三的多項式,即辛潑孙公式 e(r)d=(+41+Q2) 是确的(看814,第二悉第一分册第I54頁上底注)。事实⊥,我們将看到,Q(x)是一个 次多項式, y=ax+阝,z=7x+6 (12) 是钩成范園立体的_敉面的方程。这旧可以假定系数∝,B,y,8是某一杂数E的函数,当t 变化(例如,山t到T)时母栽就描网出曲面来。现在如果用一行于vz平面、与它相距 r的下面去截这一曲面,則在桕交的地方就得一曲栽,它在不面上的射影(拜未变形1)恰 以方程(12)做它的参数力程。我們很定,当t育t变到T时所有截面处的边界都是以正向 被村应的母幾上的点)描画出来了。因此做面面积,例如由类似于(9)的公式,可表作 (x)- ydz=(ax+ B)d(rr+8)= (五, =x2.ad?+.(ada+Rdr)+rds 当然,要合于面所說过的条件,为簡单起見这些第件我們达不再歌提了。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲機积分·斯底尔吉斯积分 图15 即,确乎表作的二大三項式。 容易证明,类似于公式(11)的公式也可应用到針算立体对z平的靜矩上去:这靜矩 可用积分 Myz=1 Q(a)dr 来表示[847,1)],这里积分号下的面数是一个三大多项式 58两不同型曲簇积分間的联系者鲦一光滑曲幾()三(AB, 取弧6=AM为参数,我們就可表它为方程 y=y(8)(0≤8≤ 菌数x(8),(8)将有連糢导数a(8),y(8)。如以表示向着弧的增加 方向的切幾与軸閭的夹角,則大家都知道[237(7)], cos a=x(s), sin a=y(s). 如沿曲機(K)已知一逑额匦数∫(M)=f(xy),囡此我們有 博士家园论坛刘伟
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