14 微积分学教程 情形下不起作用,因为弧A34《-1的长σ与这一方向元关。然而第二 型积分的情形就不同了:所濾弧段在任一軸上的射影与弧的方向大有 关系,方向变为反向时,射影也变号。因此,对第二型积分有 f(a, y)dx=- f(, y)dx, (B4) (4B) 同样, f(r, y)dy=- f(a, y)dys EAH) 且右端积分的存航能推出左端积分的存在,反过来也是如此。 用类似的方法可以引导散布在間曲彩(AB)上的第二型曲积 分的概念。即,如在这一曲殺上铪出一酾数f(M)=f(x,孙,#),則与上 面一样,作和 f(s;,m;,l)△ 并当=maxA4+*趋近于睿时考蔡它的极限。如这一极限存在则 它称为J(M)dax的(第二型)曲錢积分,并用記号表为 f(M B (B) 同样地定义有下列形状的积分: r(M)dly=s f(, y, a)dy, (x 「(M)=j(,) (AB) (AB) 最后,考(“一般形状”)积分 Pdx++rdz Pdx+ Qdyt Rdz [: B) (4R) 这里同样,积分的方向改变就使积分的符号也收变。 再釜看第11頁正注 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲积分·斯底尔吉斯积分 最后注怠,通常定积分釣最簡箪性质[290,291]容易移到所考察的 曲秘积分上来,关于这一点这里不討論了。 522第二型曲积分的存在与計算設已知曲(K)=(AB)的 参数方程为 (t) 且数及ψ連液,又当参数t自变到β时曲袋以自A到B的方向 描动。我們也假定函数∫〈x,)溍曲幾(AB)連續。 如談到积分(2)时,我們还更假定导数φ(t存在且連额。 在这些假定下曲簇积分(2)存在,且有等式 f(a, y)dx=(R)If(o((),y(t))o'(t)dt. (5) 因此,在計算曲积分(2)时,应在积分号下的函数中将变数及y用 它們的参数表示式(4)代替,而因子dx应当把变数a当作参数的函数 而用这函数的微分来代替。最后一积分中,积分上下限序的安排在 这里要看曲幾方向的选擇。 F面我們来证明。在曲錢⊥取由参数值i=0,1,2,…,n)所决定 的点A,在弧AA4+1上选取一点M4;它的参数值是v;(显然x4在与 t,+1之閭)。那末积分和 2-1 ∑f(5,v;) 当我們考虑到 △a=9(t p(t)dt 时,它就可改写为 t ∑f(9(x),ψx) (dt 博士家园论坛刘伟
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16 徹积分学棵 的样子。另一方面,(5)中右端的积分*可表作和的形状: 7→1 -」().0()9)=x」f(9(),()厘(1)a 于是 ∑|[f(p(x),(r)-f(9(t),ψ(t))J9(t)d. 在耠定一任意的6>0后,現在假定所有的△井常小,使在区 [ta,b*1]上速襪函数f((4),ψt))的振动≤8。因为連辕面数g(4) 是有界的|φ(t)≤,所以我們就会有 σ-ll<eLlB 因此,当量λ= marAt;}趋近于0时**, , 这同时氈证明了曲幾积分的存在,又证明了所要求的等式。 容易看到,这一推理不加什么本质上的变动就可放到函数g(4)仅 有分段連續的导数情形上去。 对于积分(2“),当导数ψ()速續(或仅仅分段速额)时,用同样的 方法可得知它的存在,且可证明公式 ∫(y)y=()(9(t,y()() (5*) (B) 最后,如畝到一般形状的积分 P(x, y)dc-+our, y)d 而共中P及Q为連籟数时,則对曲钱(AB)我們就加以一条件, 因为积分号下的西数速额,积分显然存在。 κ这就相当于各小段弧的疸徑中最人者趋近亍0成(在#開曲鍰的情况卜)最大的弦超 近于0[316]。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲機积分·斯底尔吉斯积分 就是两数(4)有連额或至少有分段連續的导數。在这一假定下公 式 Pda+Qd P(9(t),v(t))φ(t)+Q(9(t),ψ(t)ψ(t]d(6) 就成立 曲积分的定义与这里所示的化它为普通定积分的方法也可直接 推广到曲幾(4)自身相交的情形,只要它上面的方向与前面一样由参数 t单調地自α变到β而确定。 末了我們来說明曲秘积分計算起来特別簡单的若干情形。戬积分 2)取在一曲幾上,这曲秘是用显方程 y=y (r) 給凸的,且当x自a变到b时点自A位移到B。那末,对曲镘除連外 不加任何假定,就有 f(a,y)dx=(R)f(a, y(r))dx. (7) AB) 同样,如果积分(2*)散布在一連續曲糨上,这曲能仍由显方程耠出,但 是另一种样子 y (其中y由c变到d),則 f(a,y)dy=(R)f(a(),y) 7) (AB) 最后,如果积分(2)散布在平行于轴的一直幾段上,則它等于0 (因为在这种情形下,所有的△a;因此同时所有的和σ都等于0)。同 样,积分(2)取在玊行于x軸的一疸段上时也等于客。 博士家园论坛刘伟
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18 微积分学教 如积分道路(K)可分成有限段彼此相接的曲幾,沿每一曲秘各个 曲錢积分存在且可以用上面所示公式之一来計算,則很容易证明,沿整 个曲彩(K)的积分存在,且等于沿它各部分积分的和。 528閉路的情形平面k定向整个上面所的包括着点A与B 重合的情形,即閉路的情形。我們来更詳翱地討論这→情形。 首先我們注意,积分的存在与否及它的大小与在路幾上取哪一点 作为积分道路的起点(同时也作为修点)无关 享实上,如A及A是閉合路彩上任意两点,則自A点出发又回到 A点的积分(以图5中箭头所示的方向)相当于沿弧段AM4'及AYA 依大积分: 〔AMA"NA)AMA1)(A'NA) 但在順倒右端的两項后,我們得到: (AMANA (ANA) (AMA') (A'NAM4' 这就是所要证明的。 我們所老察的情况的特点是:指定了起点及(与它相重的)点,拜 不能确定曲幾(K)描动的方向。在 每一情况下都要特别說明是取的哪 个方向。在談到空間曲幾时也必 須同样說明。而在面閉路(K)的 情况下迸常用别的方法来說明。 在所給平面的两可能轉动方向 “反时針向”及“順时針向” 中,取一个算作正的:这样就构成了确定的平面的定向。如反时針向算 作正的,則邳面的定向称作右手的,在另一种情形下,就称作左手的。 在平面的右手定向的情形T,我們就合反时針向轉动作为簡单閉 博士家园论坛刘伟
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