第十五章曲栊积分·斯底尔吉斯积分 (与寻常一样,共中v尧向量r的长)。 現在吸引质点的质量遠辕地分布在一曲(K)上。为萋我出吸引力,我們分曲为許 多小段,将每一小段的质量集中在它上面任意攻定的一点M处后,我們求出合力在坐标 轴上射影的近似: x÷m2(Mn)0a,y: M1) sin y 因为这时各个小段共质量近以地等于(M)《,如合所有的σ;趟近于需,則取极限后就得 到谁确的等式,且这时和就被积分所代替了: X=mo e(m) coeds, Y=mo[e ssineas 这里"表向量矿=MM的长,而日表它与x帕的夹角 弑求一均勻芈国周(=1)对位于箕中心的一单位质量的吸引力。 照将坐标原点放在心,通过华面端底 作横軸(图3) 由对称性,x=0新以只耍求出射影y 好了。由公式(8) gin bda 但在現在的情况下了=R(牛国的华征)且 ds=Rd.故 图3 Y=R win a de 14)一单位质量的点(m0=1)与一无势的均匀辘(P=1的距离为五,求直糢对达 点的引力。 解将所求的引力当作所這直键上一有限裁段所生引力的溉限,假设这一機段的婚 点在两头变到无甥远去。如将竄赣本身取作x轴,而髫軸遁过已知点,則得(考虑在所铪的 情况下8-dx) (x2+№2) +2 同样,X=0(但由对称性这很明显)。 15)試求星彩赣z=ac。3t,=ain3t在第一象限内的富对位于坐标原点的单位质 1108e6
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10 微积分学數程 量所生钓引力,設曲赖在每一点的密度等于这一点到她标原点距高的立方。 Xy=32 §2第二型曲錢积分 520力場中功的問題我們轉而奇論在实际上更为重要的第二 型曲幾积分的概念,这里还是从一个力学問题出发。 歆住ay平面(或平面的一硝定部分)的任一点M如放一单位质 量,就有一确定的力F作用于它,这个力的大小与方向只与点M的位 置有关;如放在M的质点其质量m不等于一,則作用于它的力就等于 m)。在这种情形下本面(或所考察的一部分)称作(平面)力場,而 作用于单位质量的力F称作場的引力。耠出力F的大小与方向相当 于耠出它在坐标輛上的射影x,Y,显然射影是虑M的坐标xy的数 x=X(, g),Y=Y(a, y). 現在假定,位于場中的质点M(x,g)(有单位质量者)运动,且以 确定的方向描出某一連额曲彩(K)。我們的間題是在这一运动中場的 力所做的功A如何計算。 假如作用于志的力保持一常稙F且保持一個定方向,而虑的位移 本身以直秘进行,則大家都知道,功A可表为位移与力在位移方向上 射影的乘积: A=FI cos 6 其中B是力F与位移方向問的灭角。 在井谊幾运动以及井當数力的情况下,功要借某一极限过程来确 定[比照344]。例如,我們可以这样来理解。在点的軌道曲幾內,内 接一多角形折幾,弁确定当沿这一折耪运动时場的力所做的功。这时 不計力在折幾的同一段上的变化,所以問題就变成上逃的直幾运动以 及常数力的最簡单情形了。所得的式子当作所求功A的近似值。它的 雅值,总是这样,可以用一极限过程即当折耧的所有各段趋近于零 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲粳积分·斯底尔吉斯积分 时*就能得到。 根据所逃的計划,現在来进行功A的計算。以A表軌道(K)的起 点,B表点(这里当然,哪一点取作起点,哪一点取作释点,不能随 便)。用自A到B方向排好的点 1,yn-nt 来分曲幾AB为許多部分。为使記号对称,将A,B写作A0,An,而它們 的坐标分别表为是,y及cn,yn,最后,作曲幾(K)的内接折糙,以上 泷各点为接辍頂点。 为了要确定通过小段AA4+1时的功A4,我們毅这时力F大小与 方向都保持不变,例如与点A 处的情形相同。如以F;表力 在这一点的大小,日;表小段的 方向A;4+1与力的方向間的 夹角,則元素功A《将(近似地) 等于 A;F;A;A+1·co6 *ALiH 引进x軸与力F;夹角 α;以及x軸与小段A屮間 图 夹角B;则(图4)日=a;-B在A的表示式中合 coB日= cos a: cos+8 sin C sin 它航可改写作形状 F;cosa·AAt+1cosR;+F;sin∝;·AA;sin 但是不难看出,Fcoa及 p sin a4是力在坐标軸上的射影, 所以 Ficosa=x,=X(s, vi), F, sin a; Y;=Y(ass vi) 同样,式子A、A3+cs及A;A4 r sin B是殺段AA+在坐标軸上的射 在閉曲親的情形时更正确的說法是:当所钉的部分弧的吖徑趋近予睿射[杂看318]。 博士家园论坛刘伟
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微积分学教 影,故它們分別等于 x《+1-x y=△ 最后,得到元素功A3的表示式 ÷x(x3g4)Ax;+Y(x,y;)△y 将这些元素功相加,得所求場力的全部功的近似值: X(x,y)△x+Y(x,y)△ 如已說过的,变到极限,得功的進确值: A=i>x(x,v;)△x;+Y(x,y)△= 一1 lim∑x(x,v;)△+lin∑Y(z,y)△y (1) 51第二型曲貓积分的定义現在我們脫离开力学中功的間題, 而詳尽地硏究所得极限的构遺。首先来討論第一个极限。 散沿一連敘曲幾(AB)已知某一数f(M)=(x,y)”.用点A分 曲幾为許多部分后,在曲饑段AA+1上取一任意点M(5;m),并計 算出函数在这点的值f(M)=(5,7);再作一和 σ=∑f(M1)△4=∑了(5,m)△ [在520目所考察的問題中,我們是取的陌数X在弧AA+的起点 处的值但这不是非如此不可的。1 如当=maxA44+1*趋近于零时,这一和有一有限极限,既与 曲籍和分的方法无关,又与点M4的选择无关,則这一极限称为f(M)dx 看第2頁底注 畚看第11頁底注。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲幄积分·斯底尔吉斯积分 I3 沿曲或道路(AB)的(第二型)曲罐积分,用記号表为 ∫f(M)b=Jf(x,y (2) (AB) CA BY 同样,将值∫(M)不乘上△x;而乘上△y;并作和 ∑f(M:)Ay;=∑f(东,7) 我們得到它的极限,即f(M)dy的(第二型)曲秘积分: *=[f(M)ay=「f(x,y)dy (2) A (B) 如沿曲錢(AB)定义有两个图数P(M)=P(x,y),Q(M)=g(x,g), 且积分 「P(a)x=P(m,)d,q(Mm)y=「q(x)y (A) AB〕 〔AB (AB) 都存在,則它們的和就称为(“一般形状的”)曲糙积分,并合 P(a,y)dxc+Q(a, y)dy= P(a, g)dic+ Q(a, y)dy. (B) 用这种記号,当点沿曲秘(AB)位移时力場的功的公式(1)現在可 以写为形状 A=X(a, g)dx+Y(a, y)dy (3) KAB) 現在我們来比較第二型曲秘积分(2)或(2*)]的定义与第-型曲 機积分的定义[畚看517(1)]。除显然的类似地方外这两个定义有实 质上的不同:在第一型积分的情形下,当形成积分和时,函数值∫(M) 乘以曲段A1A4+1的长a;=△s,在第二型积分的情形下,这个值 f(M)乘以这一段在軸(或撇)上的射影△r(或△y:)。 我們巳看到过,积分进行所沿道路(AB)的方向在第一型积分的 博士家园论坛刘伟
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