4 微积分學彀 的理論价值,但在方法上的价值它仍全部保存着。 我們以后将假定数∫(M)是連的*,显然在这种情形下积分是 存在的。 合設一曲(K)由任意的参数方程 =g(!),y=v(t)(≤t≤T) 所給H,共中西数9及ψ与它們的导数φ及ψ都連辕;此外,假定曲 能上无重点。那么曲幾就是可求长的,且若弧8=AM=8(t)的增加对 应于参数t的增加,則 8=√φ(t)]2+[ψ(t] [320,321]。在(3)的右端的积分中换变数,立刻得到 r(Mn)ag=jf(g(1,(4)y()P+w()Fl.(4) 五 因此,在計算第一型曲积分时,在积分号下的数中,变量及 y应該用坐标的参数表示式来代替,至于因子ds,应該把弧当作参数的 函数而用这函数的微分来代替。射别指出,定积分(4)的下限必須小于 上限。 在曲以显方程 y=y(x)(a≤x≤b) 轮出时,公式(4)的形状是: f(M)da=f(a, y())v1+Ly()dx. (5) 这一关系式也可有另一形式。在面数y(x)与它的导数y/(x)連續 的假定下,曲镘(K)在每一点处都有一不乎行于y軸的确定切秘。以 我們是指在曲耧(K)上的点处瀍襪,也就是指沿着曲辘遠额。用“E-6"的說法,这就 是:对E>0能找到这样的8>0,使当MM<3肝就有|∫(M)∫(M)<E(M及M是曲 颧上的点)。在这一假定下,复合国数f(x(8),(8)),由于x(8)及v(8)是連犢的鞭故,也 样是8的遵额面数。 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲糙积分·斯底尔吉斯积分 5 a表切能与軸的夹角,我們得到 tg a=y'(), Icosa=Vi+Ly(aF 故 f(M)ds=f(a, y(a)dx. CoSa (r) 如用S表示整个曲幾(AB)的长,因为显然 ds=s Ko) 所以特別地有 aI 附注公式(7)是糨形式的变換得来的。如果我們定义曲簃弧长 为外切(不是内接)折餐周长的极限,則这一定义一—在曲幾以显式耠 出时——立即可得出公式(7)。談者不妨自己来证实这一点。 510例)若()是精周需+=2在第一象限内的分,叶算积分1二m 解(a)我們有 1+y a2 所以由公式(5), 1-(a2-h2)x2 a=(a2-b2)rzrdz 进行积分,得: a nb (2+(b+02 3 (+b 应注鳶,上面儆的計算事雯上还要育所說明行,丙为当v=时切秘刹率变为无穷 博士家园论坛刘伟
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6 微积分学数程 大。下一解法就渡有这一缺点 (6)如变到国的参数表示x= a cos t,y= b sin t,故 TI=-a sin t, vt=b cost, V=12+w=va sin2t+ b2 cost. 則可按公式(4)来逑行計算: I=lacost b sin t vn2 sin2 t+b2cosi fat a abfsin2t/na. 1-c0924+h2.I+cos2at 2 0 这里今c02↑=x,則sin2td=-1le,且 r=吃√2+B+22 2 b 2 2『a2+B,b2.-a2 ab (a-+(b+bx 4·=四·3[z b 2)計算积分I=}s,其中(K)是抛物钱2=2Px上坐标原点到点(ro,)的 LK) 段 解由曲的方程,我有B=P,所以 yds=w√!+y2d=√v+yydr=√r+2pxdr, I=YA2+2p.c d t3p (p2+ 3)訃算积分=1(x2+y2)ds,其中(A联精点(,a)攻(b,b的直镜段(b>4)。 提示直機方程:y=x.德2(b3-a3). 4)計算积分K={e-rds,共中(C)是曲粳 r=log(l++2),y=2 arct t-t+3 在点=小及t=1閭的一段。 提示√2!2+y2=, 博士家园论坛刘伟
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第士五章曲挑积分·斯底尔吉斯积分 2aro tgt -t+3 T2 1 dt log 2-H 5)常見曲機中一大部分(橢闆、双曲秘、正弦曲镘,双糨餞箅)其弧长不能丧作初等 数,因为它們的d不能积分为有限型。然而对这种曲镜,积分f(x,y)d往往算出米 是韧婷面数[例如,参看例1)],因为与囚子f(x,y)联在一起时,积分号下微分式的整个 构遺改变了。讀者不妨做一些积分f(x,y)da的例题,积分取在正弦曲餞矿=sinz或双 曲秘xy=1上但又可表作初等函数者。 6)計算积分I=xyd,其中(C)是曲機xt,y=√8,z=)t2在点t=0 及t=1的弧 解d 1+t)d: 2:量 (I+t)dt 16√2 143 7)当曲A(K)用极坐标方程r=r(6)(61≤≤0)轮出时,試求計算积分 I=f(e,y) 的一公式 Ⅰ=「∫(rcoa,rsin)√r2+rzd 8)若(K)是双曲绵耧78=1自日√3到日=2√2的一段,試算积分 ds 3 9)試求曲=1gx在有横坐标x1及x的两点这一段的质量,股曲耧在每点处 的(篯性)密度等于該点横坐标的平方。 解由公式(2),因为在我們的情形下P=x2,故有; m=1x2da,但ds=√I+理dr,所以 1+x·xdr a1)量 博士家园论坛刘伟
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微积分学敦程 10)武求悬筵糙=ah在点x=0及x当a問一段的质最,散曲碰在每点的密度 与該点的纵坐标戒反比。 提示P=,d=at=adr,m=k 与蹇辙地分布在曲辘上的质量相关的萁它問題,很自然地也可变成上面所考类型的 曲秘积分。 11)在第十章中[3401我們討論过邳面曲耧对坐标軸的轿矩的計算,以及它的重心坐 标的計算,那时假定“穢性密度”p=1,馩者不难推疒那韭所褥的公式到质量速分布的一 般惰形。如引用曲积分氍念时,則秸果可写作下面形状 Mu= P d’的s4 12)我們还說明第一型曲镟积分的一个应用一应用到有质最的曲藉对质点引力的 問题 大家都知道,按牛頓定律,质量m的 质点M0对质量m的质点M的吸引力,方 向是从Mo到M,大小等于 共其中 r是距掷M0M,而k是与测量的基本单位 选擇有关的一系数;井且为了单起見,我 們常认为它等予 点M被一质点系M1,Mz,…,Mn 图2 所吸引,它們的质量是m1,7,…,ma,則 将各个点对M的吸引力几何地相加,就得到合力。同时,合力在坐标軸上的射影等于各个 力射影的代数和。 如以X及Y表合力在坐标軸上的射影,且以表向量了;=M0M;与地轴的夹角, 則显然 博士家园论坛·刘伟
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