第三分册录 第十九章傅立叶級数 1.导言 651周期量与和分析(425)652+欧勒-傅立叶定系数法(428)653.正交函数 系(431)6三角插法(435) 2数的傅数展开式 655.問题的提出·第巢沿积分(439)66.第一基本預备定莲(44)657.同化 定(444)658,尼与李西淡的叶微数收修的判别法(5659第二 本备定理(448)660.第希一别法(450)66上.非周域函数的情(452) 662.任意区的情形(454)663.只含余弦或正炫的展开式(455)664.例(459) 665.logi(x)的展开式(473) §3.补允 666.系数减的数(475)667三角数借助于复变数解析雨数的求和法(482) 668.例(485)69.立叶数的复数形式490)670.比极数(493)671,多重 傅立叶数(496) 4.傅立叶级数的收特性 672.对于基本預备定理的几点补充(499)673.傅立叶极数一致收性的判别法 (502)674傅立叶级数在不点附近的性质;特形(505675.花数的 情形(510)676.傅立叶颖数的奇异性质·先的时(512)77奇性质的作法 516) §5.与函数可微分性相关的余部估值 678.函数与共导数的立系数之关系(518)679.在有界函数情形时部分和的 估(519)680.数育级有界导数时余部的(521)68上数有有界变 的k导数的情形(523)682.函数及其导数的不速性对f傅立系数的尤穷小 阶的影响(526)683在区[0,π上给出函数时的情形(530)68.分离奇异性质 法(532) 5.傅立叶积分 685.博立叶积分作为立叶级数的极限情形540)686.预光的說明(542)687. 分别法(544688.基本假设的变形(546)689佛公式的各种形式(50 69得变(551)691.傅立变换的若性质(554)692.例与补充(550 693.二元函数的情形(562) (iii) 博士家园论坛刘伟
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微积分学程 §7应用 694.用行星的平近点角所作出的它的偏近点角的表示式(564)695.函数的函数 方程(566)696.弦振动的(567)697.有限长杆上的热导盟题(571)698. 无长杆的情形(574)60极条件的变形(576)700.在盘上的热傳导(578) 701实用码和分析·二个纵坐标的方法(580)702.例(582)703.二十四个纵坐 标的方法(585)70,例(587)705.立叶系数的近似值与满的比较(588) 第二十学傅立叶級数() .傅立叶级数的运算完全性与性 706.博立叶极数的逐项积分法(591)707.傅立叶数的逐项微分法(594)708 角函数系的完合性(595)709.函数的致近似法·稚尔史特拉斯定理(597)710. 函数的平均近似法·傅立叶极数的部分和的极端性质(600)711.三角函数系的 合性·李猴普諾定理(604)712.广义閉合性方程(607)713立叶数的乘法 (610714合性方程的若应用(611) 2发散极数的求和法 715导言(617)716.幂数法(619)717.陶俏尔定理(621718.算术均法 (624)719.普安松-亚培尔法与齐查罗法的相互关系(626)720,哈第点满定理 (628)721.广义求和法在蔽数乘法上的应用(630722.股的性求和法类 (632 3.求和法在傅立数上的应用 723.基本备定理(635)724.傅立叶级数的普安松-正培尔求和法(637)725.关 于圆的第里希乘题的解(641)72分博立数的齐查-叶尔求和法(643) 727.立极数广义求和法的若干应用(645)728.博立叶数的逐项微分法(647) §函数的三角展开式的唯一性 729.关于广义导数的助命题(549)730三极数的黎曼求和法(653)731.关于 收极数的系数的预备定(657732.角展开式的唯一性(658)733关傅立 级数的最后的定理(660)731.推广663) 中名对照表 博士家园论坛刘伟
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第十五章曲幾积分·斯底尔吉斯积分 81第一型曲能积分 517第一型曲餞积分的定义为了很自然地得出这一新的概念 我們来考察一个能导出它的力学 問題。 設巳耠一連额的可求长型 面曲秘(K)(图1),在它上面 分布有质量,且在曲上所有的 点M处其性密度P(M为已 知,要求确定整个曲糙(K)的质 量 m。 图 为达此目的,在曲簇端点A与B任意地插入一列点A1,A,… An-1(为使記号对称,命A与A相合,An与B相合)。为了明确起見 我們认为这些点是自A到B記数的[畚看817*],但是,将它們以相反 的方向記数也可以。 在曲的弧A4A;+1上任取一点M,算出这一点处的密度P(M4)。 近似地认为在这一小段弧上所有点处的密度都是这样的,并以a;表弧 AA,+1的长,对这一弧的质量mx我們将有近似表示式 今后为单計,我們只計豁平面曲糢,整个所逃的东西不必改变就可移到塞曲栈的 情形。 中*参看关于本书第一卷及第二卷时,均以原书的中薛本为溢一峄者 1) 博士家园论坛刘伟
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2 积分學程 mi=P(Ious 而对整个所求的质量,将有近似式子 ∑P(M;)σ 这一式子的誤差与上面所作的近假定是有关的;如所有小段的 长σ;趋近于睿时,这誤差也将趋近于。因此,如以A表长a;中最大 的一个,只要变到极限就得到准确的公式: lim∑p(M)a 現在开始一般地来研究这一类型的极限。丢开上面的問題不談, 取一任意“点函数”f(M)=f(x,y),它是在一速的可求长平面曲耩 (K)上轮出的“,并重复上逃于额:分曲幾(E)为許多弧元A4A1+,在它 們上面任取点M4(,n),計算出在这些点处的值fM;)一f(5,y) 并作和 ∑f(M;)o;=∑f(,m) 它亦代表一定类型的“积分和”。 当入=maxσ;趋近于嚼时,如这一积分和有一确定的有阻极限L, 既与曲箍(K)細分的方法无关,又与小段A;A4+上点M的选播无 关,則这一极限称作函数∫(M)=f(x,y)沿曲縫或道路(K)上所取的 (第一型**)曲幾积分,并以記号 I=f(M)ds=f(ac,y)da (1) 五 来表示(共中是曲幾的弧长,d就象征长度元a)。极限过程的精确 說明留給讀者。 因此,上面所得曲籍质量的式子可重写为 *这里假定某一直角坐标系取作基础。 誉以示与下面L521所酎論的第二型曲犧积分不同。 博士家园论坛刘伟
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第于王章曲积分·斯底尔吉斯积分 m=p(M)ds (2) 特別注意,耠道路(K)所加的方向在所介貂的定义中不起任何作 用。例如若这一曲幾不是閉的,且以(AB)及(BA)作为不同方向的曲 镘,則 ∫f(M=j(Mn)as ▲B) (BA) 类似地,我們可以引导散布在空惆曲(K)上的积分概念 f(M)d8=f(,弘、z) 由于沒有什么新的原則性东西,沒有必要在这里詳談。 518剎化为普懣定积分假定在曲能(K)上任意取定一方向(两 个可能方向之一),曲秘上点M的位置可由从一点A量起的弧长8=AM 来确定。那末曲耧(K)可为参数方程的形状: z=a(a),y=y(8)(0≤8≤S), 而在曲秘上耠出的菌数f(x,y)便化成变量8的复合函数f(x(8),y(8) 对应于在AB弧上所选取的分点A,其弧的值如表为 =0,1,…,n),則显然a;=84+1-8=△8以8;表定点M的8值(而 且显然,6≤3≤8+),可以看到曲彩积分的积分和 ∑f(M4)o4=∑f(x(2),(3)8 同时也是普通定积分的积分和,所以立刻有: f(M)d8=(R)f(a(a),y(a))ds 且这两积分中只要有一个存在,另一个就也存在。 当然,这种直接由第一型曲窥积分化为普通的积分会降低了它 某一直角坐标东将哀作茲础。函数∫仅在曲模(K)的点处有定义 符号(E)裳示,积分达且是了解为道常是定义下的积分 博士家园论坛刘伟
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