复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十四章 格林Green函数 - 偏微分方程解的积分表示

第十四章格林函数偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法 A:数理方法中的分离变量法:正交的多项式或无穷级数解,但需要齐次边界条件 B:理论物理中的 Green函数方法:既是简单的有理形式解,又允许任意的边界条件 1, Green函数(GF)的意义:物理上:点源产生的场(函数)在时空中的分布。特 别是它在空间是源函数;在时空是传播函数。( See below) 数学上:具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解 2,GF的分类:边界值GF:GG,F)即源函数;初始值GF:G(r,r;F,t)即传播函数 3, Green函数的性质: 1)对称性:GG,F)=GG’,f),它与定解问题相关,即与厄米性相关。(See4 below) 2)时间传播函数没有对称性:GG,t,F',t)≠G(F',t;,1).(因果律引起) 3)存在的必要条件:设方程(v2+4)G(G,F)=-6(F-P),若λ是对应齐次方程 的本征值,即V2q=-和附加齐次边界条件,则GG,F)不存在。这是因为既有 点源:(-)矛盾于又无流:品G=0.本征值问题存在,但是没有激发,物理 上自相矛盾!平面波Ae(x),球面波Are()和柱面波Ao2e(所m均是 Laplace Equation的解,但不是 Possion Equation的解。球、柱面波分别来自于x>1时(散 射问题)渐近行为:Hm23(x)-层4m1m,h42(x)-e1x 4, Green函数的边值条件 选取边值条件具有人为性,但要求简单并保证算子的厄米性 1)齐次边值条件:(a+BG)k=0矛盾于上述33),详见下面1412末。 2)有解性(解收敛):GL,=0-基本解 5, Green函数的用途:偏微分方程的积分解法:1)求G(F,P),2)利用迭加原理给 出物理问题u(F)的积分形式解; Green函数的奇点与元激发的能量和寿命有关。 6, Green函数的求法: l)特殊方法:V2G=-6(F-P)→G=1/|-F 2)本征函数展开法:相应算子在同一边界下的本征函数作为基矢。 3)方程齐次化方法:将非齐次项变成边值条件和初值条件 4)积分变换法: Laplace Transforms, Fourier transform 5)形式解:算子运算

1 第十四章 格林函数--偏微分方程解的积分表示 解偏微分方程主要有两种方法： A: 数理方法中的分离变量法：正交的多项式或无穷级数解，但需要齐次边界条件。 B: 理论物理中的 Green 函数方法：既是简单的有理形式解，又允许任意的边界条件！ 1，Green 函数（GF）的意义：物理上：点源产生的场（函数）在时空中的分布。特 别是它在空间是源函数；在时空是传播函数。(See below) 数学上: 具有点源的偏微分方程在齐次边界条件或者无界区域、初值条件下的解。 2，GF 的分类：边界值 GF：G r r ( , ') 即源函数；初始值 GF：G r t r t ( , ; ', ') 即传播函数。 3，Green 函数的性质： 1）对称性： G r r G r r ( , ') ( ', )  ，它与定解问题相关，即与厄米性相关。(See 4 below) 2）时间传播函数没有对称性： G r t r t G r t r t ( , ; ', ') ( ', '; , )  .（因果律引起） 3）存在的必要条件：设方程 2 ( ) ( , ') ( ')        G r r r r ，若λ是对应齐次方程 的本征值，即 2      和附加齐次边界条件，则 G r r ( , ') 不存在。这是因为既有 点源：( ') r r  矛盾于又无流： | 0.   n G   本征值问题存在，但是没有激发，物理 上自相矛盾！平面波 ( ) , ik x at Ae 球面波 1 ( ) ik x at Ar e  和柱面波 1/2 ( ) ik at A e    均是 Laplace Equation 的解，但不是 Possion Equation 的解。球、柱面波分别来自于 x 1 时（散 射问题）渐近行为： (1,2) [ ( 1/2) /2] (1,2) [ ( 1) /2] 2 1 ( ) , ( ) . i x m i x l H x e h x e m l x x          4，Green 函数的边值条件： 选取边值条件具有人为性，但要求简单并保证算子的厄米性。 1）齐次边值条件：( ) | 0 G G n        矛盾于上述 3,3)，详见下面 14.1.2 末。 2）有解性（解收敛）： | 0 G r  --基本解。 5，Green 函数的用途：偏微分方程的积分解法：1）求 G r r ( , '), 2）利用迭加原理给 出物理问题 u r( ) 的积分形式解；Green 函数的奇点与元激发的能量和寿命有关 。 6，Green 函数的求法： 1) 特殊方法： 2        G r r G r r  ( ') 1/ | '|. 无界 2）本征函数展开法：相应算子在同一边界下的本征函数作为基矢。 3）方程齐次化方法：将非齐次项变成边值条件和初值条件。 4）积分变换法：Laplace Transforms，Fourier Transforms. 5) 形式解：算子运算

14 I Green函数与偏微分方程 1,定义:Gren函数(源函数,影响函数,传播函数,传播子 数学上,含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解; 物理上,点源在一定物理条件下产生的场。这种解(场)在时空中的分布与传播。 例1,无界空间 Possion Equation: ∫vn=-4x),viG(,)=-4z(7-F, lul=0 IGl=0 无界 3GG, 7)=,u()= Gr, ,)p(r )dr 基本解--无界空间 Green函数的叠加( see below for the solution) 例2,无界空间 Helmholtz Equation: (v2+m=4x()2(2+G(,F)=-4x(F-F ∫GF,P)p(Fd (see below for the solution. G(, F ): Field; P(r ): Source) 例3,无界空间波动方程 V2|u=D(F,1),ul=0,ul=0u1=0 t t av2lo(,r;:)F-)(-)G=0G|=0Gl=0 在含时Gren函数G(r,t;r,t)中,为方便计,我们将它简记为G(F,F) 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation解的积分形式(在定解问题中求G) (V2+A)a=-4x().---(1) (aun+B)l=f(,---(2) 设定解问题:对应于(V2+G(F,F)=-4D(-P)--(3) (aGn+BG)l=0(齐次边界条件)--(4) 假设GF,F)已经求出,方法见143作算符运算:[GG,P)Eq()-u)Eq(3)得 ∫[G(,Pvv(F)-n(FvG(7,P)=-x[G(,P)p()=u()5(7,F 对上式左边利用Gas公式vF=乐F,其中F=GuVG,可得如下的 Gren恒等式:∮。[G()v0F)-av)vG(,)=手(un-G,x Se童裕孙等,高等数学下册,2版,PP154-156&PP161-162 故有形式解u(F)=G(,)p()dxx4z G(r, r) aG(r, r)

2 14.1 Green 函数与偏微分方程 1，定义：Green 函数(源函数，影响函数，传播函数，传播子) 数学上，含点源的偏微分方程在一定的边界条件或者初始条件下的解； 物理上，点源在一定物理条件下产生的场。这种解（场）在时空中的分布与传播。 例1， 无界空间 Possion Equation: 2 2 4 ( ), ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. 1 ( , ') = , ( ) ( , ') ( ')d '. | ' | u r G r r r r u G G r r u r G r r r r r r                          无界 基本解---无界空间 Green 函数的叠加（see below for the solution）. 例2， 无界空间 Helmholtz Equation： 2 2 ( ) 4 ( ), ( ) ( , ') 4 ( '), | 0. | 0. ( ) ( , ') ( ')d ' (see below for the solution. ( , ') : Field; ( ') :Source). u r G r r r r u G u r G r r r r G r r r                              例 3， 无界空间波动方程: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ), | 0, | 0, | 0. ( , ; ', ') ( ') ( '), | 0, | 0, | 0. t t t t t t a u r t u u u t a G r t r t r r t t G G G t                                     在含时 Green 函数 G r t r t ( , ; ', ') 中，为方便计，我们将它简记为 G r r ( , '). 2, Helmholtz Equation and Laplace Equation 解的积分形式（在定解问题中求 G ） 设定解问题: 2 2 ( ) 4 ( ), (1) ( ) | ( ), (2) ( ) ( , ') 4 ( '), (3) ( ) | 0.( (4) n n u r u u f G r r r r G G                                    对应于 齐次边界条件) 假设 G r r ( , ') 已经求出，方法见 14.3.作算符运算： [ ( , ')Eq.(1) ( )Eq.(3)]d G r r u r r    得 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d 4 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d . G r r u r u r G r r r G r r r u r r r r              对上式左边利用Gauss公式 F r F n d d , ˆ          其中 F G u u G    , , 可得如下的 Green 恒等式： 2 2 [ ( , ') ( ) ( ) ( , ')]d ( )d . G r r u r u r G r r r Gu uG n n           See 童裕孙等，高等数学下册，2 nd 版，PP154-156&PP161-162. 故有形式解 1 ( ) ( , ') ( ') ( , ') ( )d ( , ') ( ) d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n                    （5）

在G(F,P)已知的前提下,解(5)也不是u(F)用G(G,F)表示的最后形式。这是因 为u(),un()在边界Σ上还未知(最多知道他们在Σ的线性组合一BCs)幸好 GGF,F)的边界条件还可以以多种形式提出;只要选定G的边界条件为齐次,则 l(F,Lun()或者其线性组合就可为已知的边界条件,从而最后确定u(F)例如 1)第一类边界条件:a=0.B=1,ul=f(Σ,Gk=0 OG(r) →(F)=G(F,F)p(F)dF l()-d 2)第二类边界条件:a=1,B=0,unl=f(2Gk=0 →u(F)=G(F,F)o(F)d+,中G(F,F) Ou(r) 3)第三类边界条件:(a,B)≠0, taking G. Eq(2)-Eq(4),→a(Giun-uGn)k=Gf(2) 得到vG)=[G,Gd+手oG,P/(xx ATTa s 这些形式解的前提是G要已知或者可求出。实际问题中,G可能就不存在。例如在 第二类边界条件中,4=0的问题[ Possion equation,点源存在,但边界“流”为零 -Gl=0.物理上不通(既产生又绝缘-矛盾),数学上无解]。再例如,构成本征值 问题的(V2+A)=0,(aun+Ba)k=0,不存在相对应的方程(3)和(4).这是因为 即使在边界条件完全相同的情况下,p≡0(无源)而方程(3)的源为δ(F-F).在 此情况下G无解(或适当修改 Green函数的意义),其实分离变量法已解决了问题, GF就多此一举了。GF要解决更为复杂的物理问题! 3. Green函数的物理意义 以∑为边界的区域Ω,既无论原方程是否齐次(即g内有、无源),又无论原 边界条件是否齐次(即Σ上有、无源),GF总是定义在Ω内除一点(点源)以外方程 的非齐次项处处为零(问题本身总要有非齐次项,如源于边界条件)但要化成齐次 边界条件的定解问题的解。因此GF是“点源影响函数”或者“作用的传播函数”。 对于所讨论的线性方程而言,一旦知道了相应问题的 Green函数,只要再做两个积 分,把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响线性迭加起来, 便给出原问题的解。这是线性迭加原理的最成功应用。齐次方程的本征值问题的本 征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的GF(求法见最后一节)。 142 Green函数的性质 3

3 在 G r r ( , ') 已知的前提下，解（5）也不是 u r( ) 用 G r r ( , ') 表示的最后形式。这是因 为 ( ), ( ) n u r u r 在边界  上还未知(最多知道他们在  的线性组合—BCs). 幸好 G r r ( , ') 的边界条件还可以以多种形式提出；只要选定 G 的边界条件为齐次，则 ( ), ( ) n u r u r 或者其线性组合就可为已知的边界条件，从而最后确定 u r( ). 例如： 1）第一类边界条件：        0, 1, | ( ), | 0 u f G   1 ( ) ( ') ( , ') ( )d ( ) d . 4 G r u r G r r r r u r n             2）第二类边界条件： 1, 0, | ( ), | 0. n n        u f G   1 ( ) ( ') ( , ') ( )d ( , ') d . 4 u r u r G r r r r G r r n             3)第三类边界条件： ( , ) 0, taking Eq.(2) Eq.(4), ( ) | ( ).            G u Gu uG Gf n n  得到 1 ( ') ( , ') ( )d ( , ') ( )d . 4 u r G r r r r G r r f           这些形式解的前提是 G 要已知或者可求出。实际问题中， G 可能就不存在。例如在 第二类边界条件中，   0 的问题[Possion Equation, 点源存在，但边界“流”为零 -- | 0. Gn   物理上不通(既产生又绝缘--矛盾），数学上无解]。再例如，构成本征值 问题的 2 ( ) 0, ( ) | 0 n    u u u      ，不存在相对应的方程（3）和（4）. 这是因为 即使在边界条件完全相同的情况下，   0 （无源）而方程（3）的源为 ( '). r r  在 此情况下 G 无解（或适当修改 Green 函数的意义），其实分离变量法已解决了问题， GF 就多此一举了。GF 要解决更为复杂的物理问题！ 3. Green 函数的物理意义 以  为边界的区域  ，既无论原方程是否齐次（即  内有、无源），又无论原 边界条件是否齐次（即  上有、无源），GF 总是定义在  内除一点(点源)以外方程 的非齐次项处处为零（问题本身总要有非齐次项，如源于边界条件）但要化成齐次 边界条件的定解问题的解。因此 GF 是“点源影响函数” 或者 “作用的传播函数”。 对于所讨论的线性方程而言，一旦知道了相应问题的 Green 函数，只要再做两个积 分，把原方程的非齐次项所反应的连续源分布对各点所产生的影响线性迭加起来， 便给出原问题的解。这是线性迭加原理的最成功应用。齐次方程的本征值问题的本 征值解可用于表示相应非齐次方程定解问题的 GF(求法见最后一节)。 14.2 Green 函数的性质

1.Gren函数由线性算子L和边界条件和初始条件决定 LG(r,t;F',)=6(F-F)6(-1),加上齐次边界条件和初始条件 2. Green函数的叠加性 1).G=G+G:非齐次方程特解(δδ)+齐次方程通解(δδ=0) 例如: G(r, P)=5(-F) LGn=6(-r)⊕ G1=0, Gl=f(∑) l=0 G1l=f(∑) 2).L(G-G)=0 3. Green函数的对称性: 若算子L是厄米的,则由L产生的G有G*(FF)=G(F,F)特别地,对于实变 Green函数,G(F,F)=G(r,F 1) Helmholtz方程 (V2+)G(F,F)=b(F-P)() l(aG, +BG) ==0.(: source") j(v2+)G(,F")=(F-F" l(aG, +BG )12=0." source").(4) 作∫[G,F"Eq(1)-G(,FEq(3),则方程右端变为 Q GF")-G(;F),而左端∫。IG,"G(G,F)-G(;vG(,F利用 Guas公式和Gren恒等式,上式变为∮(G"Gn-GGx=0这是因为Eqs (2)和(4)的行列式为零]。故:G(’,产")=G(F",F) LG(F,F)=-6(F-F) (aG,+BG)I=0 2)Green Equations G(,F")=-o(-F")=-8(-F")…,、(3) I(aG,+BG")13=0 作∫[G(pEq(1)-G(,P)E(3)F,则方程右端变为G(F"F)GGF;F,而 左端∫G(;LG(F)-GF,PLGF,减=0.(因为L的厄米性)

4 1. Green 函数由线性算子 L  和边界条件和初始条件决定： LG r t r t r r t t ( , ; ', ') ( ') ( ')       ，加上齐次边界条件和初始条件。 2. Green 函数的叠加性 1). 0 1 G G G   : 非齐次方程特解（   ）+齐次方程通解（   =0）. 例如： 0 1 0 1 ( , ') ( '), ( '), 0, | ( ). | 0; | ( ). LG r r r r LG r r L G G f G G f                                    2). L G G ( ) 0.     3. Green 函数的对称性： 若算子 L  是厄米的，则由 L  产生的 G 有 G r r G r r *( , ') ( ', ).  特别地，对于实变 Green 函数， G r r G r r ( , ') ( ', ).  1）Helmholtz 方程: 2 ' ( ) ( , ') ( '),...........(1) ( ') | 0...( ': source ')......(2) n G r r r r G G               2 '' ( ) ( , '') ( ''),.........(3) ( '') | 0....(": source '')...(4) n G r r r r G G               作 [ ( , '')Eq.(1) ( , ')Eq.(3)]d G r r G r r r    ，则方程右端变为 G r r G r r ( '', ') ( ', '')  ，而左端 2 2 [ ( , '') ( , ') ( , ') ( , '')]d . G r r G r r G r r G r r r      利用 Guass 公式和 Green 恒等式，上式变为 ' '' ( '' ' )d 0 G G G G n n      [这是因为 Eqs. （2）和（4）的行列式为零]。 故： G r r G r r ( ', '') ( '', ')  . 2) Green Equations: ' '' ( , ') ( '),...................(1) ( ') | 0............................(2) [ ( , '')] [ ( '')] ( ''),.....(3) ( '') | 0...................................... n n LG r r r r G G LG r r r r r r G G                               .....(4)     作 [ ( , '')Eq.(1) ( , ')Eq.(3)]d , G r r G r r r     则方程右端变为 G r r G r r ( '', ') ( ', '')   ，而 左端 { ( , '') ( , ') ( , ')[ ( , ')] }d 0, G r r LG r r G r r LG r r r         (因为 L  的厄米性)。 故 G r r G r r G G ( ', '') ( '', '), or .    

推论,(G)=GG(FF)=G(F,F),如果G为实变函数 62,0(:p 物理意义:点源'处产生的势传播到F处:G(F,F),再对整体求和,加上边界 条件产生的势,总和为产处的势分布。 4!. Green函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).(有)无界区域Gren函数--基本解G(r,r) a)无界区域:LG=-6(F-F).设解为G(F,F)(详解见下),则基本解G(F,F)为有 限形式,且中心对称(与|-F有关)以及关于F=户发散(奇异性与维度D有关) b)有界区域:G=G+G,LG0=-6(-F)和LG=0,G=-G=-G(ΣF).因 为基本解G有奇异性,所以直接影响分布。点源P通过边界Σ,ie,-G(ΣF)对产 处的分布有直接影响。 2), Helmholtz Equation(v2+k2)G=-6(-F)的解G(Fp在F=P附近的奇 异性(具体求解见下节):3D:G∝ F-产,发散;2DGln-1 ,对数发 散,1D:G连续,G-Gk=-1,导数发散 由此可见: Green函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。 143Gren函数的求法 1.方程齐次化法:将非齐次项-6(F-F)变为边界条件。 1)Helmholtz Equation G"+kG=0.(x≠x) I(G"+kGLer =-8 G=Aex1:G(x,x)=G(x;x)→积分得A=i/(2k) -1=「(G"+kGdx=G"l-G"-(奇异性,G=Ae-滑)→A=i/(2k) b). 2D: G+G+kG=-S(x-x)S0-y')

5 推论， * ( ) ; ( , ') ( ', ) G G G r r G r r    ，如果 G 为实变函数。 总之， 1 ( ') ( , ') ( ) ( , ') ( ')d ' ( , ') ( ') d . 4 u r G r r u r G r r r r G r r u r n n                     物理意义：点源 r ' 处产生的势传播到 r 处： G r r ( , '), 再对整体求和，加上边界 条件产生的势，总和为 r 处的势分布。 4. Green 函数的奇异性及其随空间维数降低的减弱性。 1).（有）无界区域 Green 函数----基本解 0 G r r ( , '). a).无界区域：LG r r  ( ').     设解为 0 G r r ( , ') （详解见下），则基本解 0 G r r ( , ') 为有 限形式，且中心对称（与 | '| r r  有关）以及关于 r r  ' 发散（奇异性与维度 D 有关）。 b).有界区域：G G G  0 1 , 0 LG r r  ( ')     和 1 1 0 0 LG G G G r 0, | | ( , ')          . 因 为基本解 G0 有奇异性，所以直接影响分布。点源 r ' 通过边界  ，i.e.， 0   G r ( , ') 对 r 处的分布有直接影响。 2). Helmholtz Equation 2 2 ( ) ( ')      k G r r  的解 G r r ( , ') 在 r r  ' 附近的奇 异性（具体求解见下节）：3D: 1 1 , | ' | G r r r   发散; 2D: 1 ln | ' | G     ，对数发 散; 1D: G 连续， 0 0 | | 1 x x x x G G      ，导数发散。 由此可见：Green 函数的奇异性随空间维数的降低而减弱。 14.3 Green 函数的求法 1. 方程齐次化法：将非齐次项  ( ') r r 变为边界条件。 1) Helmholtz Equation: a). 1D: 2 G k G x x '' ( ')      2 2 ' '' 0, ( ') ( '' ) | ( '). x x G k G x x G k G x x               | '| ' 2 | '| ' ' ' [ ( , ') ( ', )] / (2 ) : 1 ( '' )d ' | ' | ( ) / (2 ). ik x x x ik x x x x x G Ae G x x G x x A i k G k G x G G G Ae A i k                            BC 代入 积分得 奇异性, 光滑 b). 2D: 2 ( ') ( ') G G k G x x y y xx yy        