复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第九章 数学物理方程的定解问题 Determinate solution problem of equations

9 Determinate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU ou dl=i ox cos(n, x)+ oy coS(n, y)//=f/ou sin(r, x)+o-sin(t, y)d dy av y手v+n 列方程:根据牛顿第二定律 odSu,=F(x,ndS+T(u+u,ls (n+un)=f(x,),其中f(xy) F(x,y, r) 则un-av2n=f(x,y) 应力张量=1x22,其中是作用于垂直于k轴的平面上的力, r31323 其方向沿l轴,如rx是y面上沿x轴的力(k,l=12,3) 112/13 刚体=7×,转动惯量张量=|2123 13Im1, =「dm(x2+x2+x3)6+(-1)x 1=jdm(x2+x2)为对x的转动惯量,2=「dmx2=121=「dmxx为惯量积 Review:在上述振动问题中存在弹性力,一来有恢复力-Avl,二来有加速度 u,所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的,有u 4.热传导方程(3+1D热传导现象热传导定律和能量守恒) (1)定变量:点(x,y,z)在t时刻的温度为u(x,y,z,1)(热量无法直接测量) (2)立假设:1)已知两个物理量:物质密度p(x,y,z)一单位体积的质量;比热 c(x,y,z)-在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2)给定物质内部的热源强度Qx,y,=z,1)一在单位时间单位体积

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 6   u u  S y u u x y x u x y u x y u y x u y l y u x x u n y l y u n x x u l n u xx yy S xx yy l l l l l d d d d d d d d cos( , ) cos( , ) d sin( , ) sin( , ) d                                                                    列方程：根据牛顿第二定律 dSut t  F(x,t)dS  Tuxx  uyy dS ，即 u u  f (x,t) T utt  xx  yy   ，其中 ( , , ) ( , , ) F x y t f x y t   . 令  T a  ，则 2 2 ( , , ) tt u a u f x y t    . 应力张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 T                     ，其中 kl  是作用于垂直于 k 轴的平面上的力， 其方向沿 l 轴，如 xx  是 yz 面上沿 x 轴的力 ( , 1,2,3). k l  刚体 0 J I   ,转动惯量张量 11 12 13 21 22 23 31 32 33 I I I I I I I I I I            , 222 1 2 3 d [( ) ( 1) ], kl kl kl k l I m x x x x x         2 2 11 2 3 I m x x   d ( )  为对 x 的转动惯量, 12 1 2 21 2 1 I mx x I mx x    d d   为惯量积。 Review: 在上述振动问题中存在弹性力，一来有恢复力 ku, 二来有加速度 , tt u 所以是简谐振动的谐波。下面的输运现象是非可逆的，有 . t u 4．热传导方程(3+1D 热传导现象,热传导定律和能量守恒) (1)定变量：点 (x, y,z) 在 t 时刻的温度为 u(x, y,z,t) （热量无法直接测量）。 (2)立假设：1) 已知两个物理量:物质密度 (x, y,z)—单位体积的质量;比热 c(x, y,z) —在单位质量中增加单位温度所产生的热量。 2) 给定物质内部的热源强度 Q(x, y,z,t)—在单位时间单位体积

9 Determinate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热 3)物质内部热交换过程遵从 Fourier定律(热传导定律):流过 物质内部任意曲面的热流强度(在单位时间内垂直通过单位 面积的热量)q与温度梯度成正比,即q=-kVu,其中,k>0 称为导热系数。q为辅助量。 (3)取区域:体积元△V,它的边界面为S (4)找作用:在单位时间内 通过整个S面流入的热量为(*) fa. ds=-fv qdi △中物质产生的热量为Qd 温度升高所需热量为 (5)列方程:由物质内部热交换过程的能量守恒定律,有 0d(热增)=列K吸热)+热源) (*):例如上图中方向、通过yz截面在M时间内体积元△吸热: ql4y△△r-ql4y△AM=-0 9(x,D4/4o (k)△l 同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式(将面积分化为体积分),末个等式用到了热传导定律。 由于△V是任意的,因此, v·q+Q→c0=kVa+Q t 如果p和c是常数,令a2=k,则 Q~av2u=f(x,y,=,),其中f(,)=Q/cp 稳定态(2=0):V=-( Piosson eq 无外源(∫=0):V2u=0( Laplace eq,)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 7 内产生的热量。例如热核反应或者内部加热。 3) 物质内部热交换过程遵从 Fourier 定律（热传导定律）：流过 物质内部任意曲面的热流强度（在单位时间内垂直通过单位 面积的热量） q  与温度梯度成正比，即 q  ku  ，其中， k  0 称为导热系数。 q  为辅助量。 (3)取区域：体积元 V ，它的边界面为 S . (4)找作用：在单位时间内， 通过整个 S 面流入的热量为（*） q S q V S V d d             ; V 中物质产生的热量为 Q V V d   ; 温度升高所需热量为 V t u c V d      . (5)列方程：由物质内部热交换过程的能量守恒定律，有 d ( ) d d V V V u c V q V Q V t              热增 （吸热） （热源）. （*）：例如上图中 x ˆ 方向、通过 yz 截面在 t 时间内体积元 V 吸热： | | ( , ) ( ) . x x x u q y z t q y z t q x t V t k V t x x x                       同理可得另外两个方向的结果。上式首个等式的三维形式正好是高 斯公式（将面积分化为体积分），末个等式用到了热传导定律。 由于 V 是任意的，因此，        q Q t u c   k u Q t u c      2  . 如果 和c 是常数，令 c k a   2 ，则 ( , , , ) 2 2 a u f x y z t t u      , 其中 f r t Q c ( , )   . 稳定态 ( 0) : u t    2 2 f u a    (Piosson eq.); 无外源 ( 0) : f  2   u 0 (Laplace eq.）