1.矢量和张量代数U3Ae3e2Uie1正交坐标系的基矢量三维空间正交坐标系（如直角坐标系，球坐标系，柱坐标系）基矢量er，ez，es 的正交性，可表示为1i=j(1. 1)6g=10ei·eSi±j一般矢量A有三个独立分量Ar，A2，A3，故可写成(1. 2)A= Alei + Aze2 + Ase3 =ZAeii=1
1.矢量和张量代数 • 正交坐标系的基矢量 三维空间正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系) 基矢量e1, e2 ,e3 的正交性,可表示为 (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成 (1.2) u1 u2 u3 3 e 2 e 1e ⎩⎨⎧ ≠= ⋅ = = i j i j ij 01 ei e j δ ∑ = = + + = 3 1 1 1 2 2 3 3 i A A A Ai i A e e e e A
1.矢量和张量代数BAXBAcosaCB0BBcos0A0AAA.BC.(AxB)AXB矢量的乘积两个矢量的标积与积，三个矢量的混合积与矢积分别满足(1. 3)A.B=B·A= ABcos0(1. 4)A× B= ABsin 0AxB=-BxA (1. 5)A·(B×C)= B.(C×A)=C.(A×B)(1. 6)A×(B×C)= B(C: A)-C(A·B)
1.矢量和张量代数 • 矢量的乘积 两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足 (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) A A×B B A B θ Acosθ Bcosθ θ A⋅B = B⋅ A = ABcosθ A× B = −B× A | A× B |= ABsin θ A⋅(B×C) = B ⋅(C × A) = C ⋅(A× B) A×(B×C) = B(C ⋅ A) -C(A⋅B) A B C A⋅B A×B C ⋅(A× B)
1.失量和张量代数W3e3e2uu2e1·并矢量与二阶张量两个矢量A和B并置，构成并矢量ZAB=(Ajei + Aze2 + Ase)(Biei + B2e2 + B3e3)=A,Bje;ej(1. 7)i,j=1它有9个分量A,B,和9个基e;e：一般地AB+ BA
1.矢量和张量代数 • 并矢量与二阶张量 两个矢量A 和B 并置,构成并矢量 (1.7) 它有9个分量AiBj 和9个基ei ej.一般地 u1 u2 u3 3 e 2 e 1e i j AB e e e e e e e e j i j A A A B B B ∑AiB = = + + + + = 3 , 1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( )( ) AB ≠ BA
1.矢量和张量代数u3e3e2uU2e三维空间二阶张量也有9个分量T，它的并量形式与矩阵(matrix）形式分别为TTie;ej(1. 8)i,j-1Ti1T2Ti3(1. 9)T23T =T21T22[T31T32T33
1.矢量和张量代数 •三维空间二阶张量也有9个分量Tij ，它的并矢量形式与矩阵 (matrix)形式分别为 (1.8) (1.9) u1 u2 u3 3 e 2 e 1e i j ∑ e e = →→ = 3 i, j 1 T Tij ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 T T T T T T T T T T
1.矢量和张量代数张量的迹，是其主对角线全部元素（分量)之和：(1. 10)trT = Ti1 + T22 + T33trT=0的张量，称为无迹张量。单位张量，其并矢量形式与矩阵形式分别是(1. 11)T =ejei +e2e2 +ege30[10001I =001 (1. 12)因此(1.1)式中的符号S，实际上是单位张量的分量
1.矢量和张量代数 • 张量的迹,是其主对角线全部元素(分量)之和： (1.10) trT = 0 的张量,称为无迹张量. • 单位张量,其并矢量形式与矩阵形式分别是 (1.11) (1.12) 因此(1.1)式中的符号δ ij ,实际上是单位张量的分量. 11 22 33 trT = T + T + T 1 1 2 2 3 3 = e e + e e + e e →→ I ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 I