第六章6.1相对论的基本原理和时空理论6.2洛伦兹变换的四维形式四维协变量6.3相对论力学6.4电动力学的相对论协变性6.5电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量6.1相对论的基本原理和时空理论认为时空和质量的测量有绝对意义，与观测者所处的参考系无关，这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础，其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪后期起，一些物理学家逐渐发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符迈克尔孙等人的光速测量实验，否定了电磁波传播问题上的“以太”媒质说，从而也就否定了特殊参考系的存在.爱恩因斯坦于1905年创立了狭义相对论爱因斯坦假设相对性原理物理定律在所有惯性系都有相同的形式；光速不变原理一一真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数c，与光源的运动无关.间隔不变性间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系中，任意两事件的时空坐标为(x1,Ji,21,)和(x2,2,22,t2),定义两事件的间隔为5 =c2(t2 -1)2 -(x2 -x)2 -(2 -y1) -(2 -2)2(6.1)在另一惯性系'中,这两事件的时空坐标为(x,y1,=,t)，(x2y2,=2,t),间隔为s'2 =c2(t2 -ti) -(x2 -x)2-(y2 -y)2 -(=2 -z/)2(6.2)惯性系概念要求时空坐标变换必须是线性变换，即s"2=As2，s2=A's2，而当两个惯性系的相对速度V→0时，这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系，应当有5'2= s2(6.3)洛伦兹变换设惯性系以速度V沿惯性系二的x轴正向运动，两参考系相应坐标轴平行，t=t=0时刻两参考系的原点重合(一个事件),由(6.3)式，可导出任一事件的时空坐标从-
第六章 6.1 相对论的基本原理和时空理论 6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量 6.3 相对论力学 6.4 电动力学的相对论协变性 6.5 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量 6.1 相对论的基本原理和时空理论 认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关,这种绝对时空和绝对 质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从 19 世纪后期起,一些 物理学家逐渐发现这种观念与电磁现象和高速运动的实验事实不符. 迈克尔孙等人的光速测量实验,否定了电磁波传播问题上的“以太”媒质说，从而也就 否定了特殊参考系的存在.爱恩因斯坦于 1905 年创立了狭义相对论. 爱因斯坦假设 相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式； 光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数c ,与光源的运动 无关. 间隔不变性 间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系Σ 中,任 意两事件的时空坐标为 tzyx 1111 ),( 和 tzyx 2222 ),( ,定义两事件的间隔为 2 12 2 12 2 12 2 12 22 −−−−−−−= zzyyxxttcs )()()()( (6.1) 在另一惯性系Σ′中,这两事件的时空坐标为 ),( 1111′ ′ ′ tzyx ′ , ),( 2222′ ′ ′ tzyx ′ ,间隔为 2 12 2 12 2 12 2 12 22′ = ′ − ′ − ′ − ′ − ′ − ′ − ′ − zzyyxxttcs ′)()()()( (6.2) 惯性系概念要求时空坐标变换必须是线性变换,即 , ,而当两个惯性系 的相对速度 时,这两个惯性系将等同于一个惯性系.因而对任何两个惯性系,应当有 2 2 ′ = Ass 2 2 = sAs ′′ v → 0 22′ = ss (6.3) 洛伦兹变换 设惯性系Σ′以速度 沿惯性系 v Σ 的 x 轴正向运动,两参考系相应坐标轴平 行, 时刻两参考系的原点重合 = tt ′ = 0 (一个事件),由(6.3)式,可导出任一事件的时空坐标从 1
Z系到Z系的变换一一洛伦兹变换x'=r(x-v), j'=y, 2'=z, t'=r(t--(6.4)X其中=1//1-β2，β=Vc(6.5)将(6.4)式中的v换为-V，可得逆变换.当v<<C，（6.4)过渡到伽俐略变换因果律与相互作用的最大传播速度洛伦兹变换表明，时空的测量有相对意义，即测量结果与观测者所处的参考系有关，这是相对论时空观的一个方面另一方面，是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义，即因果关系不因参考系的变换而改变，从时间次序来说，就是在一个惯性系中，作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后，变换到任何其它惯性系，都必须保持这一时间次序.从这一要求出发，由间隔不变性或洛伦兹变换，可得出推论一一真空中的光速c是自然界一切相互作用传播速度的极限间隔分类在任何一个惯性系中，任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之一：类时间隔2>0：类光间隔s2=0；类空间隔s2<0.在一个惯性系中有因果关系的两事件，两者之间必定存在某种相互作用，其传播速度只能小于或等于c，因而有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光，变换到任何其它惯性系，绝对保持因果关系，相互作用的传播速度仍然小于c或等于c，即间隔仍然类时或类光。在一个惯性系中无因果关系的两事件（间隔可以是类空、类时，类光），变换到任何其它惯性系，绝对保持非因果关系同时相对性在某个惯性系中，如果两事件于不同地点同时发生，即这两事件无因果关系，由落伦兹变换可推知，在其它惯性系看来，这两事件的发生不同时.这意味着，在某个惯性系不同地点对准的时钟，在其它惯性系看来没有对准.运动时钟延缓效应（时间膨胀）在物体静止的参考系中，测得任一过程进行的时间△T，称为这过程的“固有时”：由落伦兹变换，在其它惯性系≥中，测得这过程进行的时间变慢了:AtAt =(6.6)=yAT/1- β2这效应对于两个惯性系来说是相对的，即在系上看系的时钟变慢，在系上看二系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形，时间延缓效应是绝对效应运动尺度缩短效应（洛伦兹收缩）当物体以速度V相对于惯性系之运动，若在平行于运2
Σ 系到Σ′系的变换——洛伦兹变换 ′ = γ − vtxx )( , ′ = yy , ′ = zz , )( 2 x c v ′ γ tt −= (6.4) 其中 2 11/ −= βγ , β = /cv (6.5) 将(6.4)式中的v 换为 − v ,可得逆变换.当 << cv , (6.4)过渡到伽俐略变换. 因果律与相互作用的最大传播速度 洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量 结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的一个方面.另一方面,是认为事物发展 变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就是在 一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都 必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论——真空 中的光速c 是自然界一切相互作用传播速度的极限. 间隔分类 在任何一个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之一：类时 间隔 0 ；类光间隔 ；类空间隔 . 2 s > 0 2 s = 0 2 s < 在一个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互作用,其传播速度只 能小于 c 或等于 ,因而有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光,变换到任何其它惯性 系,绝对保持因果关系,相互作用的传播速度仍然小于 或等于 c ,即间隔仍然类时或类光. 在一个惯性系中无因果关系的两事件（间隔可以是类空、类时，类光），变换到任何其它惯 性系,绝对保持非因果关系. c c 同时相对性 在某个惯性系中,如果两事件于不同地点同时发生,即这两事件无因果关 系,由洛伦兹变换可推知,在其它惯性系看来,这两事件的发生不同时.这意味着,在某个惯性 系不同地点对准的时钟,在其它惯性系看来没有对准. 运动时钟延缓效应（时间膨胀） 在物体静止的参考系Σ′中,测得任一过程进行的时间 Δτ ,称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换,在其它惯性系Σ 中,测得这过程进行的时间变 慢了： τΔγ β Δτ Δ = − = 2 1 t (6.6) 这效应对于两个惯性系来说是相对的,即在Σ 系上看Σ′系的时钟变慢,在Σ 系上看Σ 系的时 钟也变慢.但是在有加速运动的情形,时间延缓效应是绝对效应. ′ 运动尺度缩短效应（洛伦兹收缩） 当物体以速度v 相对于惯性系Σ 运动,若在平行于运 2
动方向上这物体的静止长度为l。，由洛伦兹变换，在系中测得这长度缩短为1=l. /1-β? =lo/y(6.7)这效应对于两个惯性系来说，也是相对的.但在垂直于运动的方向上，这一效应不会发生时钟延缓与尺度缩短效应，是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映，是统一时空的两个基本属性，而且两者是相关的，与运动的具体过程和物质的具体结构无关速度变换由洛伦兹变换(6.4)，可导出物体速度从惯性系到'之间的变换u.uyux -vu=(6.8)+"1-u/e:u,=(1-u,e)u=r(1-vu, /c2)将v换为一V，可得逆变换.可以证明，若在一个参考系中物体的速度u<c，变换到任何其它参考系仍有u<c.仅当v<<c,(6.8)式才过渡到经典速度变换6.2洛伦兹变换的四维形式四维协变量相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标x4=ict统一为四维复空间(6.9)Xu=(x,ict)=(xi,x2,xg,x)于是当系以速度V沿系的x，轴正向运动时，洛伦兹变换（6.4)可表为(μ,v=1,2,3,4)(6.10)x=axy重复指标(上式中右方的v)意味着要对它从1至4求和.变换系数α构成的矩阵为0ipY0100a=(6.11)0001L-ipy 0 0由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即Xx=XX=不变量(6.12)因此，洛伦兹变换是四维时空中的正交变换，即变换矩阵满足(6.13)aaur=OV(6.10)的逆变换为Xμ=aux'(6.14)3
动方向上这物体的静止长度为l0 ,由洛伦兹变换,在Σ 系中测得这长度缩短为 0 /γβ2 0ll 1−= = l (6.7) 这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的方向上,这一效应不会发生. 时钟延缓与尺度缩短效应,是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映, 是统一时空的两个基本属性,而且两者是相关的,与运动的具体过程和物质的具体结构无关. 速度变换 由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系Σ 到Σ′之间的变换 2 1 /cvu vu u x x x - − ′ = , )(1 2 /cvu u u x y y γ - ′ = , )(1 2 /cvu u u x z z γ - ′ = (6.8) 将v 换为 − v ,可得逆变换.可以证明,若在一个参考系中物体的速度 < cu ,变换到任何其它 参考系仍有 ′ < cu .仅当 << cv ,(6.8)式才过渡到经典速度变换. 6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量 相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标 = ictx4 统一为四维复空 间 ()( ) 4321 = x = , xxxxictxμ (6.9) 于是当Σ′系以速度v 沿Σ 系的 x1轴正向运动时,洛伦兹变换(6.4)可表为 νμνμ′ = xax ( μ ν = 1,2,3,4, ) (6.10) 重复指标(上式中右方的ν )意味着要对它从 1 至 4 求和.变换系数 aμν 构成的矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = βγ γ γ βγ 00 0100 0010 00 i i a (6.11) 由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即 ′ ′ = xxxx μμμμ = 不变量 (6.12) 因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满足 aa μτμν = δ ντ (6.13) (6.10)的逆变换为 ττμμ = xax ′ (6.14) 3
在洛伦兹变换下，按物理量的变换性质分类为：标量(零阶张量，不变量）s=S(6.15)四维矢量(一阶张量)V"=awV(6.16)四维二阶张量(6.17)Tl=auavT例如，间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明，每一类四维协变量的平方都是洛伦兹变换下的不变量.利用这一普遍规律，可将物体的速度和光速，能量和动量，电荷密度和电流密度，标势和矢势，电场和磁场等物理量统一为四维协变量，由此可以清楚地显示出被统一起来的物理量之间的内在联系，并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求的协变形式，6.3相对论力学相对论力学方程在低速运动情形下，经典力学方程F=dpldt在伽利略变换下满足协变性.为使高速运动情况下力学方程也满足协变性，构造dxuuic四维速度Uu(6.18)=（dtV1-(u/c))/1-(ulc)moc?imou四维动量P,=mUμ=((6.19)/1-(u/c)2c/1-(u/c)2FF-u=(K,-K ·u)四维力(6.20)K./1-(uc)2/1-(wc)c(四维加速度α=dU,ldt）,其中u是三维速度，F是三维力，F·u是力的功率，K是四维力的空间分量.由于固有时dt和静止质量m。是洛伦兹不变量，因此U、P,和K，都是按(6.16)方式变换的四维协变矢量，于是相对论力学方程dPK,μ=(6.21)dt在洛伦兹变换下满足协变性.由dt=dt/1-（u/c)2，这方程包含的两个方程为dpdm.uF:(6.22)dtdt/1-(uc)2moc?dwdF-u(6.23)dtdt/1-(uwc)?相对论质量、动量和能量由方程(6.22)和（6.23)可知，高速运动情形下物体的质量m、4
在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为： 标量(零阶张量,不变量) ′ = ss (6.15) 四维矢量(一阶张量) = VaV νμνμ′ (6.16) 四维二阶张量 = TaaT λττνλμνμ′ (6.17) 例如,间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明,每一类四维协变量的平方都是洛伦兹变换 下的不变量.利用这一普遍规律,可将物体的速度和光速,能量和动量,电荷密度和电流密度, 标势和矢势,电场和磁场等物理量统一为四维协变量,由此可以清楚地显示出被统一起来的 物理量之间的内在联系,并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求的协变形式. 6.3 相对论力学 相对论力学方程 在低速运动情形下,经典力学方程 = pF /dtd 在伽利略变换下满足协 变性.为使高速运动情况下力学方程也满足协变性,构造 四维速度 ) )(1 , )(1 ( 2 2 u/c ic d u/c dx U − − == u τ μ μ (6.18) 四维动量 ) )(1 , )(1 ( 2 2 0 2 0 0 u/c cm c i u/c m UmP − − == u μ μ (6.19) 四维力 ),() )(1 , )(1 ( 2 2 uKK F uF ⋅= − ⋅ − = c i u/c c i u/c Kμ (6.20) (四维加速度 τ μ = μ/ddUa ),其中 u是三维速度, F 是三维力, ⋅ uF 是力的功率, K 是四维 力的空间分量.由于固有时 dτ 和静止质量 是洛伦兹不变量,因此 、 和 都是按 (6.16)方式变换的四维协变矢量,于是相对论力学方程 m0 Uμ Pμ Kμ τ μ μ d dP K = (6.21) 在洛伦兹变换下满足协变性.由 2 τ = - u/cdtd )(1 ,这方程包含的两个方程为 dt d u/c m dt d u p F = − = ) )(1 ( 2 0 (6.22) dt dW u/c cm dt d = − =⋅ ) )(1 ( 2 2 0 uF (6.23) 相对论质量、动量和能量 由方程(6.22)和(6.23)可知,高速运动情形下物体的质量 m 、 4
动量P和能量W分别为mo(6.24)m==m/1-(u/c)mou(6.25)=mu=mouP/1-(uc)?moc?= moc* = mc? =T + moc?W:(6.26)/1-(wc)2质速关系(6.24)表明，物体的质量m随其运动速度u的增大而增加，即质量测量与时空测量一样，存在相对论效应.仅当u<<c,才有m=m。，此时相对论动量(6.25)过渡到经典动量p=mgu.质能关系(6.26)中，mc2是运动物体或粒子的总能量，moc2是其静止能量，T=(m-m)c2是其相对论动能.仅当物体或粒子的速度u<<c,才有T=m2/2,即非相对论动能质能关系的重要意义在于它表明，一定的质量来源于一定的相互作用能量.由moc2可推知，静止质量m。+0的粒子，必定有静止能量，因而应当存在某种深层次的内部结构，物体或粒子的静止质量，来源于其内部存在的相互作用能量.由多粒子组成的复合物之所以出现质量亏损，便是这复合物内部的粒子存在一定相互作用能（结合能）的反映(6.19)式表示的四维动量，是将相对论动量p和能量W统一起来的协变矢量：(6.27)P, =(p,iW/c)在物体或粒子静止的参考系Z'中,其动量p=0,能量W"=m.c2，在任一惯性系Z中,设其动量为，能量为W，由P,的平方是洛伦兹变换下的不变量，可得物体或粒子在任何惯性系中能量、动量和质量的普遍关系式W=p'c?+mc(6.28)由(6.26)和(6.28)，可得粒子静止质量的一种表达式m =P'c-T?(6.29)2Tc即通过测量粒子的动量p和动能T，可计算其静止质量mo5
动量 p 和能量W 分别为 0 2 0 )(1 m u/c m m = γ − = (6.24) uu u p 0 2 0 )(1 mm u/c m == γ − = (6.25) 2 0 2 2 0 2 2 0 )(1 cmTmccm u/c cm W +=== − = γ (6.26) 质速关系(6.24)表明,物体的质量 m 随其运动速度 的增大而增加,即质量测量与时空 测量一样,存在相对论效应.仅当u u << c ,才有 ≅ mm 0 ,此时相对论动量(6.25)过渡到经典动 量 .质能关系(6.26)中, 是运动物体或粒子的总能量, 是其静止能量, 是其相对论动能.仅当物体或粒子的速度 = m0up 2 mc 2 0cm 2 0 = - )( cmmT << cu ,才有 ,即非 相对论动能. 2 2 0 ≅ /vmT 质能关系的重要意义在于它表明,一定的质量来源于一定的相互作用能量.由 可 推知,静止质量 2 0cm m0 ≠ 0 的粒子,必定有静止能量,因而应当存在某种深层次的内部结构,物体 或粒子的静止质量,来源于其内部存在的相互作用能量.由多粒子组成的复合物之所以出现 质量亏损,便是这复合物内部的粒子存在一定相互作用能(结合能)的反映. (6.19)式表示的四维动量,是将相对论动量 p 和能量W 统一起来的协变矢量： = , /p ciWP )( μ (6.27) 在物体或粒子静止的参考系Σ′中,其动量 p′ = 0 ,能量 ,在任一惯性系Σ 中,设其 动量为 ,能量为W ,由 的平方是洛伦兹变换下的不变量,可得物体或粒子在任何惯性系 中能量、动量和质量的普遍关系式 2 0 ′ = cmW p Pμ 42 0 22 += cmcpW (6.28) 由(6.26)和(6.28),可得粒子静止质量的一种表达式 Tc Tcp m 2 222 0 − = (6.29) 即通过测量粒子的动量 p 和动能T ,可计算其静止质量 . m0 5