第二章静电场及其边值间题2.1静电场和静电势2.2电势多极展开2.3静电能外电场对电荷体系的作用能2.4静电场边值问题2.1静电场和静电势静态平衡下的电荷分布产生静电场，电荷和电场的分布均与时间无关，场方程为(2.1)V.E=pl60,VxE=0无旋性的积分形式$E-dl=0(2.2)L表明静电场为保守力场，它对电荷作的功与路径无关，只与电荷的始末位置有关故可引入标势函数，使(2.3)E=-Vo任意两点x与xo之间的电势差，等于电场将单位正电荷从x点移至x。点作的功：9(x)-0(xo)= r E-dl(2.4)因此，用电势描述电场时，必须选择电势零点.如令(xo)=0，则任一点的电势0(x)= ["* E·dl(2.5)就表示单位电荷在该点的静电势能，此时β的空间分布才构成有明确意义的标量场.当电荷分布于有限区域时，通常以无穷远即xo=为电势零点，则任一点x的电势为(2.6)p(x)= [LE-d将(2.3)式代入(2.1)第一式，得电势的泊松方程=-p/8(2.7)-
第二章 静电场及其边值问题 2.1 静电场和静电势 2.2 电势多极展开 2.3 静电能 外电场对电荷体系的作用能 2.4 静电场边值问题 2.1 静电场和静电势 静态平衡下的电荷分布产生静电场,电荷和电场的分布均与时间无关,场方 程为 0 ∇⋅ E = ρ/ε ，∇× E = 0 (2.1) 无旋性的积分形式 ∫ =⋅ L lE 0d (2.2) 表明静电场为保守力场,它对电荷作的功与路径无关,只与电荷的始末位置有关. 故可引入标势函数ϕ ,使 E = −∇ϕ (2.3) 任意两点 x 与 x0 之间的电势差,等于电场将单位正电荷从 x 点移至 点作的功： 0 0 x lExx x x d)()( 0 0 ⋅=− ∫ ϕϕ (2.4) 因此,用电势描述电场时,必须选择电势零点.如令ϕ x = 0)( ,则任一点 x 的电势 lEx x x d)( 0 ⋅= ∫ ϕ (2.5) 就表示单位电荷在该点的静电势能,此时ϕ 的空间分布才构成有明确意义的标量 场. 当电荷分布于有限区域时,通常以无穷远即 x0 = ∞ 为电势零点,则任一点 x 的电势为 lEx x ⋅= d)( ∫ ∞ ϕ (2.6) 将(2.3)式代入(2.1)第一式,得电势的泊松方程 0 2 −=∇ /ερϕ (2.7) 1
这方程在无界空间中的解为0(x)= [ P(x2(2.8)JV4元60其中无穷远处为电势零点，积分遍及电荷分布区域V.对(2.8)式取场点的负梯度即给出区域V内的电荷产生的电场：E(x)=-(x)=,(x)a="av(2.9)4元4元8。JV若电荷分布函数p(x)给定，由(2.8)式便可求出电势，再由(2.3)式求出电场若电场已经求出，则由(2.5)或(2.6)式便可求出电势.如果已知电场或电势分布，由(2.1)的第一式，或泊松方程(2.7)，可求出电荷分布例1.均匀电场Eo的电势(教材P41)［解]均匀电场的场强E。=常矢量，可看成由“无穷大”均匀带电平板产生，不可以取无穷远为电势零点.计算P与0两点间的电势差p(x)-0(0)="Eo-dx--J,Eo-dx=-Eo*x选择坐标原点电势p(0)=0，并令E。=Eoe:，有p(x)=-Eo-x=-E.Rcoso其中R=xl.例2.无穷长带电直导线的电势（教材P42)2.2电势多极展开任何一个电荷系统在其外部的电势或电场，原则上均可表示成一系列多极矩场的叠加.反之，若能探测到电荷系统在其外部的电势或电场，便可推知其电荷分布.由a-.(2.10)r=x-xl为电荷分布x'点到场点x的距离，记R=x|为坐标原点到场点的距离当系统的线度Ixk<r，可将上式按/xI/R展开为泰勒级数，这级数将给出系统各级多极矩在远处的电势。2
这方程在无界空间中的解为 V V r ′ ′ = ∫ d 4 )( )( πε 0 ρ ϕ x x (2.8) 其中无穷远处为电势零点,积分遍及电荷分布区域V .对(2.8)式取场点的负梯度, 即给出区域V 内的电荷产生的电场: V r V r V V ′ ′ =−∇= ′ ∇ ′ = ∫ ∫ d )( 4 1 d 1 )( 4 1 )()( 3 0 0 rx xxE x ρ πε ρ πε ϕ - (2.9) 若电荷分布函数 ρ x′)( 给定,由(2.8)式便可求出电势,再由(2.3)式求出电场. 若电场已经求出,则由(2.5)或(2.6)式便可求出电势.如果已知电场或电势分布,由 (2.1)的第一式,或泊松方程(2.7),可求出电荷分布. 例 1.均匀电场 E0 的电势(教材 P41). [解] 均匀电场的场强 E0 = 常矢量，可看成由“无穷大”均匀带电平板产 生，不可以取无穷远为电势零点.计算P与O 两点间的电势差 E xE x xE x x ⋅−=⋅−= ⋅=− ∫ ∫ 0 0 0 0 0 d d)0()( x ϕϕ θ z x O E0 P 选择坐标原点电势ϕ = 0)0( ,并令 E00 z = eE ，有 ϕ )( −= 0 ⋅ xEx −= 0RE cosθ 其中 . R = x || 例 2. 无穷长带电直导线的电势(教材 P42). 2.2 电势多极展开 任何一个电荷系统在其外部的电势或电场,原则上均可表示成一系列多极 矩场的叠加.反之,若能探测到电荷系统在其外部的电势或电场,便可推知其电 荷分布.由 V V r ′ ′ = ∫ d 4 )( )( πε 0 ρ ϕ x x (2.10) r −= xx ′ || 为电荷分布 x′ 点到场点 x 的距离,记 R = x || 为坐标原点到场点的距离. 当系统的线度 x′ || << r ,可将上式按 x′ /|| R 展开为泰勒级数,这级数将给出系统各 级多极矩在远处的电势. 2
一维函数f(x-x)在x=0附近的级数展开为r'r,aff1f(x-x)= f(x)+xax21ax2各级导数在x=0处取值.对于三维函数f(x-x)在x=0附近的展开，就有aif(x-x)=f(x)+Zx x,(ax,xx..(V'f).= f(x)+x'-(V'f)+-= f(x)-x'Vf(x)+Ixx":vvf(x).21最后一步利用了算符代换V→-V.令f(x-x)=1/r，上式给出1-1-x.v1+1xx:vv!(2.11)rRRR2注意到v(1 /R)=-R/R3,将(2.11)代入(2.10),便给出：a21+PR.1Z9....p(x)=4元。RR36j=l"ox,ox, R(2.12)=p(0) +p() + (2) + ...这级数一般地包含各级多极矩在远处的电势.前三项为：qp(0)(x) =(单极项，～1/R）(2.13)4元60Rp·R(偶极项，～1/R2)(2.14)g(1)(x)=4元60R3a2131p(2) (x) =TO(四极项,～1/R3)(2.15)24元81ax,ox,R其中系统的净电荷量q，电偶极矩p和电四极矩①分别由下面的积分给出q=J,p(xdv"(2.16)p=J,p(x)x'av(2.17), = 3xx,p(x')dV"(2.18)单极项电势和电场场单极项电势(0)有球对称性，它相当于系统的净电荷q集中于坐标原点时产生的电势.电场E。=-V(O)当然也是球对称的偶极项电势和电场电场由E。=-V()给出.由于P与场算符V无关，因此3
一维函数 − xxf ′)( 在 x′ = 0附近的级数展开为 ⋅⋅⋅+ ∂ ′ ∂ + ′′ ∂ ′ ∂ − ′ += ′ 2 2 2! 1 )()( x f xx x f xxfxxf 各级导数在 x′ = 0 处取值.对于三维函数 f − xx ′)( 在 x′ = 0附近的展开,就有 −= ′ +∇⋅ ′′ ⋅⋅⋅∇∇ += ′⋅ ′ +∇ ∇′′′ ′ ⋅⋅⋅∇ ⋅⋅⋅+ ∂ ′ ∂ ′ ∂ + ′′ ∂ ′ ∂ − ′ += ′ ∑∑= = )( 2! 1 )()( )( 2! 1 )()( )( 2! x 1 )()( 3 1 3 1 xxxxxx xx xx xxx f f f f f f x f xx x f f xf ji, ji ji i i i : : 最后一步利用了算符代换 ′ −∇→∇ .令 f − xx ′ = /1)( r ,上式给出 −= ′ +∇⋅ ′′ ⋅⋅⋅∇∇ r RR R 1 2 1111 x xx : (2.11) 注意到 ,将(2.11)代入(2.10),便给出: 3 −=∇ R /)/1( RR L L +++= + ∂∂ ∂ + ⋅ += ∑= (0) (1) (2) 3 2 1, 3 0 ] 1 6 1 [ 4 1 )( ϕϕϕ πε ϕ R R Rxx q ji ji Dij Rp x (2.12) 这级数一般地包含各级多极矩在远处的电势.前三项为: R q 0 (0) 4 )( πε ϕ x = (单极项,～ /1 R ) (2.13) 3 0 (1) 4 )( πε R ϕ Rp x ⋅ = (偶极项,～ ) (2.14) 2 /1 R ∑= ∂∂ ∂ = 3 1, 2 0 (2) 1 24 1 )( ji ji ij Rxx D πε ϕ x (四极项,～ ) (2.15) 3 /1 R 其中系统的净电荷量 q,电偶极矩 p 和电四极矩Dij 分别由下面的积分给出 q V V = ′′ ∫ ρ x d)( (2.16) V V = ′′′ ∫ ρ xxp d)( (2.17) ∫ = ′′′′ V Dij ji ρ x )d(3 Vxx (2.18) 单极项电势和电场 单极项电势 有球对称性,它相当于系统的净电荷 集中于坐标原点时产生的电势.电场 当然也是球对称的. (0) ϕ q = q )0( E −∇ϕ 偶极项电势和电场 电场由 Ep −∇= ϕ(1)给出.由于 p 与场算符∇ 无关,因此 3
有RRRD·R+(p.VDXCVR3=P.DPR3R=(VR-) R+R=VR=-3RR+芒V.R+R3R3R'故电偶极矩P的电场为p.VR..13(p-R)R_ P,)E=-Vp() =(2.19)4元80R3-4元60R5R3当电偶极矩沿z轴，即p=pe:，其电势和电场分布就有z轴的对称性：0p((x)=coso(2.20)4元80R?PE-Vp(l) =(2.21)(2cosder+sindeg)4元50四极项电势和电场由于a2 1-1a1R=-V?()-28V.当R+00R3P台x,R"ax,ax,Ri.j=l四极项电势(2.15)也可写为a21-1(2.22)02(x)=24元0L[.(3x/x, -"28,)p(x)dV)ax,ox, R其中r=(x2+y*2+22)1/2是电荷分布点到坐标原点的距离.于是由(2.22)式，电四极矩可重新定义为, = J,(3xx, -r"28,)p(x'dV"(2.23)(2.18)和(2.23)式定义的四极矩均为对称张量，即①，=①，但(2.23)是无迹张量，满足の，+①+の=0，因此它只有5个独立分量.对同一个电荷系统，用这两个定义计算出的四极矩一般不同，但给出的四极矩电势是一样的电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩，而各级矩的电势按距离R的负幂次衰减，随着R的增加，高级矩的电势比低级矩的电势衰减得更迅速.因此任何电荷系统在其外部的场，均以其最低级矩的场为主。从(2.17)式可看出，若电荷分布存在关于坐标原点的对称性，这系统的电偶极矩p=0。从(2.18)或(2.23)式则可看出，若电荷分布存在关于坐标原点的反对称性，4
有 3 3 3 3 ][ R R R R R p R p R p Rp ∇⋅=∇⋅+×∇×= ⋅ ∇ ）（）（ 5 3 3 3 3 3 R I R RR R →→ +=∇+∇=∇ RR RR R - - - ）（ 故电偶极矩 的电场为 p ] )3( [ 4 1 4 1 5 3 0 3 0 (1) R RR R pRRp E p - ⋅ =∇⋅ − =−∇= πε πε ϕ (2.19) 当电偶极矩沿 z 轴,即 = pep z ,其电势和电场分布就有 z 轴的对称性: θ πε ϕ cos 4 )( 2 0 (1) R p x = (2.20) 2cos( )sin 4 0 (1) θθ θ πε E ϕ ee =∇− R + p (2.21) 四极项电势和电场 由于 0 1 1 ) 1 ( 3 2 1 3 1 2 2 2 3 = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ =−∇=⋅∇ ∑∑ R R = x R = Rxx ji, ji ij i i - - δ R , 当 R ≠ 0 四极项电势(2.15)也可写为 Rxx rxx V ji ji, V ji ij 1 (3[ ])d() 24 1 )( 3 2 1 2 0 )2( ∂∂ ∂ = ∑ ′′ − ′′′ ∫ = x ρδ x πε ϕ (2.22) 其中 是电荷分布点到坐标原点的距离.于是由(2.22)式，电四 极矩可重新定义为 1/2222 ′ = ( ′ + ′ + zyxr ′ ) ∫ = ′′ − ′′′ V ij (3 ji rxx ij )d() V 2 D ρδ x (2.23) (2.18)和(2.23)式定义的四极矩均为对称张量,即D =Dijji ,但(2.23)是无迹张量，满 足D ++ DD zzyyxx = 0 ,因此它只有 5 个独立分量.对同一个电荷系统,用这两个定 义计算出的四极矩一般不同,但给出的四极矩电势是一样的. 电荷分布偏离球对称的系统必定出现多极矩,而各级矩的电势按距离 的负 幂次衰减,随着 的增加,高级矩的电势比低级矩的电势衰减得更迅速.因此任何 电荷系统在其外部的场,均以其最低级矩的场为主. R R 从(2.17)式可看出,若电荷分布存在关于坐标原点的对称性,这系统的电偶极 矩 p = 0 .从(2.18)或(2.23)式则可看出,若电荷分布存在关于坐标原点的反对称性, 4
全部电四极矩分量の，=0.例如CO2分子，其净电荷q=0，又由于所有原子都沿直线排列而且有对称性，故其总电偶极矩p=0，但其电四极矩①，±0.又如H20分子，净电荷q=0,但p0，，0.原子核在其周围带电粒子的电场作用下会发生形变，因而也具有电四极矩例4.半径为α的球面电荷面密度为α=oocose"，求远处的电势（准确到四极项).其中α。为常数.【解】如果我们将导体球或线性均匀电介质球置入均匀电场E中，导体球面出现的感应电荷分布，或电介质球面出现的极化电荷分布，就都有α=6ocos0的形式。由于电荷分布有关于z轴的对称性，而且有关于坐标原点的反对称性可知净电荷q和电四极矩の均为零，但电偶极矩p+0.由p=fcocosex'ds电荷分布点为x=ae,，即'=asing'coss',y'=asing'sing",z=acoso球面积元为ds'=a’sinoded.得这电荷分布所形成的电偶极矩各分量：Px=f,oocoso'x'ds'=0,，P,=foocosoy'ds'=0P:=f.oocosods"=aol.cos*0'sinaofag=4ao/3即有_4元a00ps3于是远处的电势为0(x)=g(x)=_P:R =4'0 cos04元60R3=360R2这其实也是球面电荷分布在球外空间产生的电偶极势，它有z轴的对称性.将P值代入(2.21)式，便得到球外空间的电偶极场例5.线四极子的电势和电场【解】如右图.由结构的对称性，可看成由一对等值反向的电偶极子p组成5
全部电四极矩分量Dij = 0 .例如 CO2 分子,其净电荷 q=0,又由于所有原子都沿直 线排列而且有对称性，故其总电偶极矩 p = 0 ,但其电四极矩Dij ≠ 0 .又如 H2O 分 子,净电荷 q=0,但 p ≠ 0 ,Dij ≠ 0 .原子核在其周围带电粒子的电场作用下会发生 形变,因而也具有电四极矩. 例 4.半径为a 的球面电荷面密度为σ = σ cosθ ′ 0 ，求远处的电势(准确到四极 项).其中σ 0为常数. 【解】 如果我们将导体球或线性均匀电介质球置入均匀电场 E0 中,导体球 面出现的感应电荷分布,或电介质球面出现的极化电荷分布,就都有σ = σ cosθ ′ 0 的形式. 由于电荷分布有关于 z 轴的对称性，而且有关于坐标原点的反对称性, 可知净电荷 q 和电四极矩Dij 均为零,但电偶极矩 p ≠ 0 .由 ∫ ′′ ′ 0 = cosθ x S p σ dS 电荷分布点为 a r x′ = e ，即 ′ = ax sinθ ′cosφ′, y′ = a sinθ′sinφ′ , ′ = az cosθ ′ 球面积元为d θθ ′′ ddsin φ′ .得这电荷分布所形成的电偶极矩各分量: 2 ′ = aS p ′′ dcos ′ = 0 0 = θ Sx ∫S x σ , = ′′ dcos ∫ 0 S y p θσ Sy ′ = 0 3/ 0 3 cos 4ddsin a σ 2 0 0 0 3 σ σ πφθθ π π p a S z ∫ ∫∫ = 0 cos ′′′ = 2 θ dSz ′′′ = θ ′ 即有 z a e 3 0 3 σπ p 4 = 于是远处的电势为 2 0 0 3 3 πε 0R ) ⋅ Rp 3 cos 4 )( R a ε θσ x = = 1( x)( = ϕϕ 这其实也是球面电荷分布在球外空间产生的电偶极势,它有 z 轴的对称性.将 p 值代入(2.21)式，便得到球外空间的电偶极场. 例 5.线四极子的电势和电场. 【解】 如右图.由结构的对称性,可看成由一对等值反向的电偶极子± p组成, 5