第三章静磁场及其边值问题3.1静磁场方程和矢势3.2磁偶极矩的势和磁场3.3静磁能外磁场对电流的作用能3.4矢势的量子效应3.5静磁场边值问题3.6超导体的电磁性质3.1静磁场方程和矢势恒定电流遵从方程√.J=0,它产生静磁场，电流和磁场的分布均与时间无关毕奥一萨伐尔定律4[(x)xav"B(x)= 4(3.1)4元JV73是恒定电流激发磁场的规律.磁场方程为(3.2)VxB=μoJ,V.B=0J一般地包括物质内的传导电流密度J.和磁化电流密度JM.由于磁场的无源性，可引入矢势函数A，使(3.3)B=VxA将此式对任意非闭合曲面s积分,并由斯托克斯定理,有JB.ds=JVxA.ds=A.dl(3.4)即矢势A沿任意闭合路径L的环量，等于通过以L为边界的曲面s之磁通量，可见只有失势的环量才有物理意义，一点上势的绝对值没有明确意义由于对任意标量场，均有×V=0，因此当A→A'=A+Vy仍有VxA'=Vx(A+V)=VxA=B可见有任意多个矢势A可以描述同一个B场.原因在于作为量场的A,只由(3.3）式给出它的旋度，没有限定其散度V·A.故A未确定.对V·A的每一种选择称为一种规范例1.均匀磁场B的矢势1
第三章 静磁场及其边值问题 3.1 静磁场方程和矢势 3.2 磁偶极矩的势和磁场 3.3 静磁能 外磁场对电流的作用能 3.4 矢势的量子效应 3.5 静磁场边值问题 3.6 超导体的电磁性质 3.1 静磁场方程和矢势 恒定电流遵从方程 J =⋅∇ 0 ,它产生静磁场,电流和磁场的分布均与时间无关. 毕奥一萨伐尔定律 V V r ′ ′ × = ∫ d )( 4 )( 3 0 rxJ xB π μ (3.1) 是恒定电流激发磁场的规律.磁场方程为 ∇× = μ 0 JB ，∇ ⋅ B = 0 (3.2) J 一般地包括物质内的传导电流密度 Jf 和磁化电流密度 JM.由于磁场的无源性,可 引入矢势函数 A ,使 B = ∇ × A (3.3) 将此式对任意非闭合曲面S 积分,并由斯托克斯定理,有 ∫ ∫ ⋅=⋅×∇=⋅ S L S d dd lASASB ∫ (3.4) 即矢势 A沿任意闭合路径 的环量,等于通过以 为边界的曲面 之磁通量.可见 只有矢势的环量才有物理意义,一点上矢势的绝对值没有明确意义. L L S 由于对任意标量场ψ ,均有∇ ×∇ψ = 0 ，因此当 → ′ = AAA + ∇ψ 仍有 ×∇ ′ = ∇× AA + ∇ψ )( = ∇× = BA 可见有任意多个矢势 A 可以描述同一个 B 场.原因在于作为矢量场的 A ,只由(3.3) 式给出它的旋度,没有限定其散度∇⋅ A ,故 A未确定.对∇⋅ A的每一种选择称为一种 规范. 例 1.均匀磁场 B 的矢势. 1
【解】令B=Be.由VxA=Be.在直角坐标系中,有4-4-B, --0, 90A._cA:=0axay-Dyαax有无穷多个A场可以满足这组方程，例如(1)A =0, A, = Bx,A. =C(2)A, =-By, A, =0,A. =C1 Bx,A, = C(3) A =By, A, =222C为任意常数，可取C=0.分别作上述A的图将(3.3)代入(3.1)的第一式,并选择库仑规范V·A=0,可得失势方程V?A=-μoJ(3.5)(V·A=0)它在无界空间中的解为A(x) = 40 , (2av(3.6)4元Jrr是电流分布点x到场点x的距离，积分遍及电流分布区域v.其中已把无穷远处选择为A的零值参考点.这积分意味着矢势A与静电势β一样遵从叠加原理.对(3.5)求场点的旋度,即给出毕奥一萨伐尔定律(3.1)式.只要给定电流分布函数J(x),由(3.6)式可求出矢势,再由(3.3)式可求出磁场B.若已知B或A的分布,由(3.2)的第一式或(3.5)式,可求出电流分布J(x)例2.圆电流圈的矢势和磁场【解】如图，以=为电流圈的对称轴，电流圈的中心为坐标原点.选择球坐标令电流沿e方向.于是电流分布便有z轴对称性,它的矢势A和磁场B也有同样的对称性.任一点的矢势A(x) = Ho f Idl(1)4元re均只有e.分量，而且与坐标无关，即(2)A= Ag(R,0)eg AR =Ag =0因此,任意半径r=Rsino的圆周各点上A值相等.故可以计算xz平面上P点的Ag，2
【解】令 由 = BeB z =×∇ BeA z ,在直角坐标系中,有 B y A x Ay x = ∂ ∂ − ∂ ∂ , = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ z A y Az y , = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ x A z Ax z 有无穷多个 A场可以满足这组方程,例如: (1) = 0 , , Ax y = xBA z = CA (2) ByA , , x −= Ay = 0 z = CA (3) x ByA 2 1 −= , y BxA 2 1 = , z = CA C 为任意常数,可取 C = 0.分别作上述 A 的图. 将(3.3)代入(3.1)的第一式,并选择库仑规范∇ ⋅ A = 0 ,可得矢势方程 0 JA2 −=∇ μ ∇ ⋅ A = )0( (3.5) 它在无界空间中的解为 V V r ′ ′ = ∫ d )( 4 )( 0 xJ xA π μ (3.6) r 是电流分布点 x′到场点 的距离,积分遍及电流分布区域 .其中已把无穷远处 选择为 A 的零值参考点.这积分意味着矢势 A 与静电势ϕ一样遵从叠加原理.对(3.5) 求场点的旋度,即给出毕奥一萨伐尔定律(3.1)式.只要给定电流分布函数 ,由 (3.6)式可求出矢势,再由(3.3)式可求出磁场 B.若已知 B 或 A 的分布,由(3.2)的第一 式或(3.5)式,可求出电流分布 . x V xJ ′)( xJ )( 例 2.圆电流圈的矢势和磁场. 【解】如图，以 z 为电流圈的对称轴,电流圈的中心为坐标原点.选择球坐标, 令电流沿 方向.于是电流分布便有 z 轴对称性,它的矢势 A 和磁场 B 也有同样的 对称性.任一点的 φ e 矢势 φ π μ xA e ∫ ′ = L r dlI 4 )( 0 (1) 均只有 分量 eφ ,而且与坐标φ无关,即 φ θ φ A = RA , )( e , R = AA θ = 0 (2) 因此,任意半径 = Rr sinθ 的圆周各点上 A 值相等.故可以计算 xz 平面上 P′点的 , Aφ 2
此处e,=ey,Ag=A,由r2 ==2 +L? =22 +x2 +2-2xacosg*=R°cos?0+R'sin0+a?-2Rasincos0=R?+a?-2Rasin&cos4dl'=ade',dl,=dl'cosg'=acostds因此有Mol f dl,cos'ds'Hola2元Ag(P)=(3)4元r4元Jo（R2+a2-2Rasincosg)1/2用椭圆积分可得到结果.讨论当2Rasina<R?+α?的情形,可以计算出近轴场和远场.此时被积函数的分母可展开为级数112RasinGcosp1.(R? +a2)/2((R2+α?-2RasinGcosg")/2R?+α?(4)1Rasincosg,3(RasinGcosp)25(RasinGcosg)(R? +a")/[1+...R?+a?2(R2+a)22(R?+a)3将(4)式右方代入(3)式并对Φ积分，所有偶次项均为零.第二项代入(3)积分给出：Mola'RAO=-4(R* +aa)3~ Sino(5)于是由A=A)=0,B=V×A,得到以球坐标表示的磁场Mola?1%(singA9)=BR2(R2 +a2)3/2cosORsing aRBe--(RAD)-o(R)sino,Ba=0(6)RaR4(R2 +α2)5/2当0→0,sino→0.coso-→1,即在近轴处有Hola?B~(7)(B线几乎与z轴平行)2(R2 + α2)3/2当R>>a，即在远处,(5)和(6)成为HomA=MomHomsing;BR=-coso,Ba=-(8)sing,Ba=04元R22元R34元R3这是电流圈的磁矩m=Ia2e.(其值为m=l元a2)在远处产生的矢势和磁场.B写成失量即为3
此处 φ = ee y , . φ = AA y 由 φθ θθ φθ φ −+= ′ = −++ ′ −++=+= ′ cossin2 cos sin cossin2 cos2 22 22222 222222 RaaR R RaaR xaaxzLzr ′ = al dd φ′， ′ = ′cosdd ′ = all ′dcos φφφ ′ y 因此有 ∫∫ −+ ′ ′′ = ′ ′ = π φ φθ φφ π μ π μ 2 0 22 2/1 0 0 ( )cossin2 dcos 4 d 4 )P( RaaR Ia r I l L y A (3) 用椭圆积分可得到结果. 讨论当 的情形,可以计算出近轴场和远 场.此时被积函数的分母可展开为级数 22 Rasin2 θ +<< aR ] )( )cossin( 2 5 )( )cossin( 2 3cossin 1[ sin 1 2/1 + ) 1 2 22 2 ( + ) cossin2 1( )( 1 ( )cos 322 3 222 2 22 2/1 2 2/1 2/122 22 ⋅⋅⋅+ + ′ + + ′ + + ′ = + ′ − + = ′ − aR Ra aR Ra aR Ra aR Ra R aR φθ φθ φθ −+ aR a Ra θ φ φ (4) 将(4) 式并对φ′积分，所有偶次项均为零.第二项代入(3)积分给出 θ 式右方代入(3) : θ μ 2 )1( 0 RIa φ sin )(4 2/322 aR A + = (5) 于是由 AR )1( = Aθ )1( = 0 , B ×∇= A ,得到以球坐标表示的磁场 θ μ θ θ φ cos )(2 )sin( sin 1 2/322 2 ∂ )1( 0 Ia aR A RR BR + = ∂ = θ μ θ φ sin )(4 )2( )( 1 2/522 222 )1( 0 aR aRIa RA RR + − = ∂ ∂ −= , = 0 B Bφ (6) 当θ → 0 ,sinθ → 0 , cosθ →1,即在近轴处,有 2/322 2 0 μ Ia ( aR )(2 B + ≈ B 线几乎与 z 轴平行) (7) 当 R >> a ，即在远处, (5)和(6)成为 θ μ sin 0m A = ； 4 2 πR θ μ BR = cos 2 3 0 R m π , θ μ θ sin 4 3 0 R m B π = , = 0 Bφ (8) z π= aI em ( 这是电流圈的磁矩 2 其值为 在远处产生的矢势和磁场 π= aIm 2 ) .B 写成矢 量即为 3
B= Hol(2costeR +sinde)(9)4元R33.2磁偶极矩的势和磁场在上例的积分式3)中，我们略去了2Rasincosd'(R?+a2）3次以上的奇次项.在远处看来这个圆电流圈可以看成一个典型的磁偶极子.其实，如同电荷系统在其外部的电场那样任何电流系统在其外部的磁场，也可表示成一系列多极矩场的叠加.在远处,如同对静电势做多极展开一样,亦可将(3.6)式中的1/r展开为级数，因而有A(x) = 40 , (x2av*4元JVrOa11-x++x(3.7)+Jdv4元JVRi.j=l= A(0) +A() +...R是原点到场点的距离.因为恒定电流的流线都是闭合的，任何恒定电流都可以看为由许多闭合电流管I组成故上式右方第一项一一即矢势的单极项为零A(0)=0l(xaV'=40Z1fdl,=0(3.8)4元RZ4元RJ磁场的单极项B(O)自然亦为零,这与认为不存在磁单极的磁场散度方程V·B=0是一致的.偶极项为A()_omxR(3.9)4元R3R=x是坐标原点到场点的矢径.m为电流系统的磁偶极矩：1.x'xJ(x)dv21-(3.10)它的磁场为B(x)=V×A() = 40|3(m-R)R_ m(3.11)4元RR3若磁矩沿z轴,即m=me.(3.11)便与例2中的(9)式一致在电流密度J=0的单连通区域内，磁场旋度方程为V×B=0,因而可引入磁标势，使(3.12)B=-μoVp于是磁偶极矩m的标势为4
(2cos )sin 4 3 0 θθ θ μ B + ee π = R R m (9) 3.2 磁偶极矩的势和磁 略去了 次以上的奇次项.在 远处 场 在上例的积分式(3)中, 我们 )/(cossin2 22 Ra φθ ′ + aR 3 看来,这个圆电流圈可以看成一个典型的磁偶极子.其实,如同电荷系统在其 外部的电场那样,任何电流系统在其外部的磁场,也可表示成一系列多极矩场的叠 加.在远处,如同对静电势做多极展开一样,亦可将(3.6)式中的 /1 r 展开为级数,因而 有 ⋅⋅⋅++= ⋅⋅⋅+ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ = ′′ +∇⋅ ′′ ′ ′ = ∫ ∑ ∫ = )1()0( 3 1 0 0 ]d) 1 ( 2 111 )[( 4 d )( 4 )( AA xxJ xJ xA V Rxx xx RR V r ji ji, ji V V - π μ π μ (3.7) 是原点到场点的距离.因为恒定电流的流线都是闭合的,任何恒定电流都可以看 为 R 由许多闭合电流管 Ii组成,故上式右方第一项——即矢势的单极项为零: 0d 4 d)( 4 0)0( 0 ′′ ∫ I μ μ = = ∑ = ( ∫ Li i i i V l R V πR π A xJ 3.8) 磁场的单极项 B(0)自然亦为零,这与认为不存在磁单极的磁场散度方程 B =⋅∇ 0是 一致的.偶极项为 3 (1) 0 4 R Rm A × = π μ (3.9) = xR 是坐标原点到场点的矢径 为电流系 . m 统的磁偶极矩： ∫ = ′× ′′ V xJxm )d( V 2 1 (3.10) 它的磁场为 ] )3( [ 4 )( 5 3 (1) 0 RR mRRm AxB - ⋅ =×∇= π μ (3.11) 若磁矩沿 z 轴,即 z = mem , (3.11)便与例 2 中的(9)式一致. 在电流密度 J = 0 的单连通区域内,磁场旋度方程为∇ × B = 0 ,因而可引入磁标 势ϕ ,使 B = −μ 0∇ϕ (3.12) 于是磁偶极矩 的标势为 m 4
o()_m.R(3.13)4元R3将磁偶极矩m的磁场表达式(3.11)与电偶极矩p的电场表达式加以比较,可知当p→mlc2,有E→B,这代换反映了p与m的场有对偶性3.3静磁能外磁场对电流的作用能静磁能在线性均匀介质内，磁能密度为w=B·H/2,其中B=μH.真空中B=HoH.磁场一般地分布于全空间,因此总磁能是磁场分布的所有区域内能量之和，即总能量一般地由积分B·HdV(3.15)N=给出.由V×H=J及B=V×A,下述积分fAdlW=(3.16)也可给出总磁能，积分只需遍及电流分布区域外磁场对电流的作用能设V内的电流分布J,激发的矢势为AI,V,内的电流分布J激发的矢势为A2,由(3.15),总静磁能为W=[,(1:A +J2-A2+J1-A2+J2 A)dv(3.17)被积函数中第三、四两项反映了两个电流的互作用能，而这两项是相等的.因此当分布于区域V内的电流J(x)处于另一电流产生的外磁场中,外场的矢势记为A.(x),则外磁场对这电流系统的作用能为W, =[, J(x)A.(x)d)(3.18)此式没有考虑到相互作用过程引起电磁感应所产生的效果.事实上，相互作用过程必然会引起电磁感应（见教材P89-90，或讲稿）.因此，外磁场对磁偶极子m的作用能，作用力，和作用力矩为(3.19)W, =-m·B.(3.20)F=-VW,=m·VBL=mxB(3.21)5
3 (1) 4πR ϕ ⋅ Rm = (3.13) 将磁偶极矩 m 的磁场表达式(3.11)与电偶极矩 p 的电场表达式加以比较,可知当 2 → mp /c ,有 E → B ,这代换反映了 p与m 的场有对偶性. 3.3 静磁能 外磁场对电流的作用能 静磁能 在线性均匀介质内,磁能密度为 w = ⋅ HB /2 ,其中 = μHB .真空中 B = μ 0H .磁场一般地分布于全空间,因此总磁能是磁场分布的所有区域内能量之 和,即总能量一般地由积分 W dV 2 1 ⋅= HB ∫∞ (3.15) 给出.由 =×∇ JH f 及 B ×∇= A ,下述积分 ∫ ⋅= V W dV 2 1 f AJ (3.16) 也可给出总磁能,积分只需遍及电流分布区域. 布 激发的矢势为 内的电流 分布 2 2 总静磁能为 外磁场对电流的作用能 设V1内的电流分 J1 A1 ,V2 J 激发的矢势为 A ,由(3.15), ∫ ( ⋅= ⋅+⋅+⋅+ 1 JAJAJ V W )dV 2 AJA 12212211 (3.17) 被积函数中第三、四两项反映了两个电流的互作用能,而这两 e (3.18) 此式没有考虑到相互作用过程引起电磁感应所产生的 项是相等的.因此, 当分布于区域V 内的电流 xJ )( 处于另一电流产生的外磁场中,外场的矢势记为 xA )( ,则外磁场对这电流系统的作用能为 ∫ = J V Wi e xAx )d()( V 效果.事实上,相互作用过程 必然会引起电磁感应（见教材 P89-90，或讲稿）.因此,外磁场对磁偶极子m 的作 用能,作用力,和作用力矩为 i Bm e W = − ⋅ (3.19) i Be F = −∇W = m ⋅∇ (3.20) = × BmL e (3.21) 5