第四章4.1真空中的波动方程4.2时谐波亥姆霍兹方程和边值关系平面波4.3导体内的电磁波4.4电磁波在界面的反射和折射4.5谐振腔和波导4.6高斯光束（阅读与讨论）4.7等离子体中的电磁波4.8光子晶体（讲座）4.9光学空间孤子（讲座）4.1真空中的波动方程随时间变化的电荷电流分布激发时变电磁场，变化的电场与磁场互相激发形成电磁波由麦克斯韦方程组aBV.D=Pr,VxE=-ataDV.B=0,VxH=J,+(4.1)at在激发源之外的真空中，P，=0，J，=0，D=E,H=Blμo,有aBV.E=0,VxE=ataEV-B=0,V×B=μ60(4.2)at而aaEV×(V×E)=-(V×B)=-μ060at?atV×(V×E)=V(V.E)-V?E于是得关于E的齐次波动方程：1aEV?E=0(4.3)ar?c3同理可得关于B的齐次波动方程：1αBV?B--=0(4.4)c2at?E和B有完全相同的波动形为，其中1
第四章 4.1 真空中的波动方程 4.2 时谐波 亥姆霍兹方程和边值关系 平面波 4.3 导体内的电磁波 4.4 电磁波在界面的反射和折射 4.5 谐振腔和波导 4.6 高斯光束（阅读与讨论） 4.7 等离子体中的电磁波 4.8 光子晶体（讲座） 4.9 光学空间孤子（讲座） 4.1 真空中的波动方程 随时间变化的电荷电流分布激发时变电磁场,变化的电场与磁场互相激发形成电磁波. 由麦克斯韦方程组 = ρ f ⋅∇ D , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ +=×∇ D JH f (4.1) 在激发源之外的真空中， 0 ρ f = ， 0 Jf = ， = ε 0ED , 0 = BH /μ ，有 ⋅∇ E = 0 , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ =×∇ E B 00εμ (4.2) 而 2 2 00 )()( t ∂t ∂ −=×∇ ∂ ∂ −=×∇×∇ E E B εμ E EE 2 )()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇ 于是得关于 E 的齐次波动方程: 0 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ −∇ tc E E (4.3) 同理可得关于 B 的齐次波动方程: 0 1 2 2 2 2 = ∂ ∂ −∇ tc B B (4.4) E 和 B 有完全相同的波动形为，其中 1
1(4.5)=299792458m/sVoco是所有频率的电磁波在真空中的传播速度4.2时谐波亥姆霍兹方程和边值关系平面波时谐波即角频率为の的单色波：E(x,t)=E(x)cosot,B(x,t)=B(x)cosot写成复数形式E(x,t) = E(x)e-ia, B(x,t)= B(x)e-it(4.6)介质色散即便是同一种介质，其电容率ε和磁导率μ一般地是频率的函数：8=8(0), μ=μ(0)仅对单色波，各向同性线性均匀介质内才有ε=常数，U=常数：D=&E，B=H(4.7)R线性均匀绝缘介质内的亥姆霍兹方程星边值关系在各向同性线性均匀的绝缘介质内，P,=0，J，=0，麦克斯韦方程组为aBVxE=V.D=0,ataDVxH=V.B=0,(4.8)at将(4.6)和(4.7)代入(4.8),得V.E(x)=0,V×E(x)=ioμH(x)V.H(x)= 0,V×H(x)=-i0E(x)(4.9)注意这四个方程中，只有第2和第4式是独立的。取第2式的散度即给出第3式；取第4式的散度即给出第1式。因此，对于时谐波，电磁场的四个边值关系e.-(D, -D)=,,e. ×(E, -E,)=0e. (B,-B)=0,en ×(H, -H,)=αr中，只有第2和第4式是独立的：2
sm/ 458 792 299 1 00 == εμ c (4.5) 是所有频率的电磁波在真空中的传播速度. 4.2 时谐波 亥姆霍兹方程和边值关系 平面波 时谐波 即角频率为ω 的单色波： t = xEx,E )cos()( ωt ， t = xBx,B )cos()( ωt 写成复数形式 ti et − ω = xExE )(),( , (4.6) ti et − ω = xBxB )(),( 介质色散 即便是同一种介质，其电容率ε 和磁导率 μ 一般地是频率的函数: ε = ε ω)( , μ = μ ω)( 仅对单色波,各向同性线性均匀介质内才有ε = 常数, μ = 常数: = εED , = μHB (4.7) 线性均匀绝缘介质内的亥姆霍兹方程 边值关系 在各向同性线性均匀的绝缘介质内, 0 ρ f = , 0 Jf = , 麦克斯韦方程组为 ⋅∇ D = 0 , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , ∂t ∂ =×∇ D H (4.8) 将(4.6)和(4.7)代入(4.8),得 ⋅∇ xE = 0)( , ∇ × = iωμ xHxE )()( ⋅∇ xH = 0)( , ∇× = −iωε xExH )()( (4.9) 注意这四个方程中,只有第 2 和第 4 式是独立的. 取第 2 式的散度即给出第 3 式； 取第 4 式的散度即给出第 1 式. 因此,对于时谐波,电磁场的四个边值关系 f12n −⋅ DDe )( =σ ， 0)( × − EEe 12n = 0)( −⋅ BBe 12n = ， n f12 × − HHe )( = α 中,只有第 2 和第 4 式是独立的: 2
(4.10)e.×(E,-E,)=0,e.×(H,-H)=α满足这两个边值关系，其它两个自然也满足对(4.9)的第2式求旋度，并由第4式，得线性均匀绝缘介质内时谐波电场E的亥姆霍兹方程：VE(x)+kE(x)= 0(4.11)其中k=0=2元/2（真空中k=のμ=0/c)(4.12)入为电磁波在介质中的波长，k为波数.方程(4.11)的解还必须满足条件：V·E(x)= 0(横场条件)(4.13)在研究电磁波在有界空间中的传播时，在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.11)和条件(4.13)，在界面上又满足(4.10)第一式的电场E，是唯一的解出E后，由(4.9)第2式即可求出磁场：B(x)= μH(x)=-=×E(x)(4.14)0同理，从方程组(4.9)，亦可得磁场B遵从亥姆霍兹方程：V?B(x)+ k’B(x) = 0(4.15)V.B(x) = 0（横场条件）(4.16)在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.15)和条件(4.16),在界面上又满足(4.10)第2式的磁场B，也是唯一的.解出B后，由(4.9)第4式，即可求出电场1V×B(x)E(x)= -(4.17)aue线性均匀绝缘介质内的平面波自然界一切电磁波均可看成由各种单色平面波叠加的结果.亥姆霍兹方程V? E(x)+k’E(x) = 0(4.18)V·E(x)=0(4.19)(横场条件）最基本的解是单色平面波.例如，当单色平面波沿x轴传播时波矢量k=kexm
0)( × − EEe 12n = , n f12 × − HHe )( = α (4.10) 满足这两个边值关系,其它两个自然也满足. 对(4.9)的第 2 式求旋度,并由第 4 式,得线性均匀绝缘介质内时谐波电场 E 的亥姆霍兹 方程： 0)()( 2 2 k xExE =+∇ (4.11) 其中 k π== /2 λμεω (真空中 k / c = 00 = ωεμω ) (4.12) λ 为电磁波在介质中的波长, k 为波数.方程(4.11)的解还必须满足条件： ⋅∇ xE = 0)( (横场条件) (4.13) 在研究电磁波在有界空间中的传播时,在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程 (4.11)和条件(4.13),在界面上又满足(4.10)第一式的电场 E,是唯一的. 解出 E 后,由(4.9)第 2 式即可求出磁场: xHxB )()( ×∇−== xE )( ω μ i (4.14) 同理,从方程组(4.9),亦可得磁场 B 遵从亥姆霍兹方程: 0)()( 2 2 k xBxB =+∇ (4.15) ∇ ⋅ xB = 0)( (横场条件) (4.16) 在各线性均匀绝缘介质内满足亥姆霍兹方程(4.15)和条件(4.16),在界面上又满足(4.10)第2式 的磁场 B,也是唯一的.解出 B 后,由(4.9)第 4 式,即可求出电场 xE )( ×∇−= xB )( ωμε i (4.17) 线性均匀绝缘介质内的平面波 自然界一切电磁波均可看成由各种单色平面波叠加的结果.亥姆霍兹方程 0)()( 2 2 k xExE =+∇ (4.18) ∇⋅ xE = 0)( (横场条件) (4.19) 最基本的解是单色平面波.例如,当单色平面波沿 x 轴传播时 波矢量 x = kek 3
d’E(x)+k’E(x)=0方程(4.18)为dx2E(x)= Eoeikr它的一个解为由条件V·E(x)=0,有a[E.eikr]=ike,E(x)=0,即kE,E为横场exxE的全表达式为E(x,t)= E(x)e-iol = Esei(kr-an)波的相位为Φ=kx-ot(4.20)与波矢量k=ke，正交的任意平面，都是等相面.在此平面上所有各点@=kx-ot=常数对求上式时间的导数，得相速度1110CD=(线性均匀绝缘介质中)(4.21)kVusuoen介质的折射率n=ue,(4.22)一色散.Z=ul称为介质的波阻抗u.和s,与波的频率有关，故和n也与频率有关一真空中任何频率的波，均有n=1,=c,Z。=o/。=376.72沿任意方向传播的平面波波矢量k=ke,+k,e,+ke(4.23)E(x, I) = Eoe (kx-n)电场(4.24)波的相位Φ=k.x-ot(4.25)与k正交的任意平面，都是等相面由V.E(x)=0，得ik·E=o，即klE磁场为4
方程(4.18)为 0)( )( 2 2 2 xE =+ xE k dx d 它的一个解为 ikx e0 )( = ExE 由条件 xE =⋅∇ 0)( ,有 0)(][ 0 =⋅=⋅ ∂ ∂ xEeEe x ikx x ike x , 即 ⊥ Ek , E 为横场 E 的全表达式为 )( 0 )(),( ti t-kxi eet ω ω = = ExExE − 波的相位为 φ = −ωtkx (4.20) 与波矢量 正交的任意平面,都是等相面.在此平面上所有各点 x = kek φ = −ωtkx = 常数 对求上式时间的导数,得相速度 n c k === = 00rr 111 εμεμμε ω v (线性均匀绝缘介质中) (4.21) 介质的折射率 rr n = εμ (4.22) μ r 和 r ε 与波的频率有关,故 v 和 n 也与频率有关——色散. Z = /εμ 称为介质的波阻抗. 真空中任何频率的波，均有 n = 1， v = c ， Z0 εμ 00 7.376/ Ω≅= 沿任意方向传播的平面波： 波矢量 zzyyxx = + + kkk eeek (4.23) 电场 (4.24) )( 0 ),( t-i et xk ω ExE ⋅ = 波的相位 φ = ⋅ xk −ωt (4.25) 与 k 正交的任意平面,都是等相面. 由 ⋅∇ xE = 0)( , 得 i ⋅ Ek = 0, 即 ⊥ Ek 磁场为 4
=V×[Eoei(k-x-an)]-V×E(x)= -B(x)=Q(4.26)k1XE:-exE0v可知电磁波：(1）是横波,E，B，k三者正交，即k·E=0，k·B=0，而且E×B→k方向.(2）电场与磁场的振幅比E1(线性均匀绝缘介质中)(4.27)0BVusE1(真空中)(4.28)=cBVuoEo电磁波的偏振电磁波电场E（或磁场B)一般地可分解为与波矢k垂直的两个独立偏振.设k=ke.，则E可分解为(4.29)E=Erex+E,ey(1)若E的矢端始终在一直线上(如E,=0,E，≠0,或E,±0,E，=0),则称之为线偏振波——完全偏振波(2）在面对传播方向看，若E的矢端作逆时针旋转，称之为右旋的圆偏振波（当E，=E，），或右旋的椭圆偏振波（当E，E，)；若E的矢端作顺时针旋转，称为左旋的圆偏振波或椭圆偏振波平面波的能量和能流各向同性线性均匀的绝缘介质内，能量密度为11E?+B2.w=(4.30)22μ由于B=E/=usE，故波的电能=磁能(无损耗的理想情形).能量密度瞬时值为W=E2=&Ecos(k.x-ot)(4.31)能流密度瞬时值为5
EeE k xB xE E xk ×=×= ×∇−=×∇−= −⋅ k ti e i i v 1 )( ][)( )( 0 ω ω ω ω (4.26) 可知电磁波: (1) 是横波,E, B, k 三者正交, 即 ⋅ Ek = 0, ⋅Bk = 0，而且 × → kBE 方向. (2) 电场与磁场的振幅比 == v με 1 B E (线性均匀绝缘介质中) (4.27) c B E == 00 1 εμ (真空中) (4.28) 电磁波的偏振 电磁波电场E (或磁场B)一般地可分解为与波矢k垂直的两个独立偏振.设 ,则E 可分解为 z = kek EE yyxx = + eeE (4.29) (1) 若 E 的矢端始终在一直线上(如 x = EE y ≠ 0,0 ,或 x ≠ EE y = 0,0 ),则称之为线偏 振波——完全偏振波. (2) 在面对传播方向看，若 E 的矢端作逆时针旋转，称之为右旋的圆偏振波（当 = EE yx ），或右旋的椭圆偏振波（当 ≠ EE yx ）；若 E 的矢端作顺时针旋转，称为左旋的 圆偏振波或椭圆偏振波. 平面波的能量和能流 各向同性线性均匀的绝缘介质内,能量密度为 2 2 2 1 2 1 BE μ w ε += (4.30) 由于 EB / v == με E ,故波的电能=磁能(无损耗的理想情形).能量密度瞬时值为 )(cos 22 0 2 w == εε EE xk −⋅ ωt (4.31) 能流密度瞬时值为 5