第五章5.1电磁势与规范变换达朗贝尔方程5.2推迟势和辐射场5.3辐射场的多极展开5.4电磁波的衍射5.5电磁波的动量和动量流辐射压力5.1电磁势与规范变换达朗贝尔方程由麦克斯韦方程组VxE=-OBV.E=pl60,atVxB=HoJ+↓EV.B=0,(5.1)c2 t可看到，变化的B场激发的E场是有旋场，用矢势A和标势β描写电磁场时，应使_aA(5.2)B=VxA,E=-Vo-at对于时变电磁场，β已无静电势能含义.在经典电动力学中，（E,B）是客观物理量，（9,A)只作为数学上的引入量，若一组(9,A)描写(E,B)，则当(,A)变换为Oy(5.3)A→A=A+V,0='→0-at时，（E,B)保持不变，其中为任意标量场.(5.3)称为规范变换，这变换保持（E,B)不变规范不变性.但在微观电磁现象中，E和B的局域作用理论不能完全反映电磁场对带电粒子的所有物理效应，(3.27)式描写的相因子是磁场对粒子作用的客观物理量，当A按(5.3)变换时，对任意闭合路径L，客观物理量A'-dl=$A.dl(5.4)同样保持不变.这表明，在宏观和微观电磁现象中，用势描写电磁场时均有许多选择.原因在于(5.2)中只规定A的旋度，并未限定其散度，故A未确定.对V·A的每一种选择称为一种规范.库仑规范V.A=0(5.5)限定A为无散场（横场）,在此规范下，将(5.2)代入场方程(5.1),得VA-%A-%VO=-M0Jaat2=-p/60(5.6)1
第五章 5.1 电磁势与规范变换 达朗贝尔方程 5.2 推迟势和辐射场 5.3 辐射场的多极展开 5.4 电磁波的衍射 5.5 电磁波的动量和动量流 辐射压力 5.1 电磁势与规范变换 达朗贝尔方程 由麦克斯韦方程组 0 ⋅∇ E = ρ/ε , ∂t ∂ −=×∇ B E ⋅∇ B = 0 , c ∂t ∂ +=×∇ E JB 2 0 1 μ (5.1) 可看到,变化的 B 场激发的 E 场是有旋场,用矢势 A和标势ϕ 描写电磁场时,应使 B = ∇ × A ， ∂t ∂ ∇= A E ϕ - (5.2) 对于时变电磁场,ϕ 已无静电势能含义.在经典电动力学中, E B),( 是客观物理量, ϕ A),( 只作 为数学上的引入量,若一组 ϕ A),( 描写 E B),( ,则当 ϕ A),( 变换为 → ′ = AAA + ∇ψ , t ψ ∂ ∂ = ′ ϕϕϕ −→ (5.3) 时, E B),( 保持不变,其中ψ 为任意标量场.(5.3)称为规范变换,这变换保持 E B),( 不变—— 规范不变性.但在微观电磁现象中, E 和 的局域作用理论不能完全反映电磁场对带电粒子 的所有物理效应,(3.27)式描写的相因子是磁场对粒子作用的客观物理量,当 B A 按(5.3)变换时, 对任意闭合路径 L ,客观物理量 ∫∫ ′ ⋅=⋅ L L dd lAlA (5.4) 同样保持不变.这表明,在宏观和微观电磁现象中,用势描写电磁场时均有许多选择.原因在 于(5.2)中只规定 A 的旋度,并未限定其散度,故 A 未确定.对 ∇ ⋅ A 的每一种选择称为一种规 范.库仑规范 ∇ ⋅ A = 0 (5.5) 限定 A 为无散场(横场),在此规范下,将(5.2)代入场方程(5.1),得 J A A 0 22 2 2 2 11 −=∇ μϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ −∇ ctc t 0 2 −=∇ / ερϕ (5.6) 1
此时E的横场部分（无散场)由A描写，纵场部分（无旋场）由β描写.若选择洛伦兹规范12=0V.A+(5.7)c2. at从场方程（5.1）可得达朗贝尔方程VA-12AV20-1a0=-μoJ,(5.8)=-p/80c? at?c? at?这组方程表现出对称性一一电流产生矢势波动，电荷产生标势波动5.2推迟势和辐射场电磁波从源点传播至场点，存在推迟效应.真空中电磁波的传播速度为C，因此达朗贝尔方程的解为推迟势A(x,1) = 0[ (x,t-rl v(5.9)4元J斤r[ p(r',t-r/e) av"(5.10)p(x,t)=4元80JVrr是源点x到场点x的距离，t时刻场点的势决定于t=t-r/c时刻辐射源的状态，即场点上势的变化滞后于源的变化.当电荷电流以角频率の振动时：J(x,t)= J(xe-ar,p(x,t)= p(x)e-or(5.11)由电荷守恒定律得V.J=iop，可知电流分布J给定，电荷分布p也就给定.故矢势A(x1)=A()ea, 4()-,[av(5.12)4元JVr可以完全地确定电磁场.相因子ei表示波从源点传至场点时，相位滞后了=kr，其中，k=0/c=2元/元，元为波长.任意点的场强为E=vBA(5.13)B=VxA,A只要知道电流分布函数J，由(5.12)和(5.13)便可计算电磁辐射，包括天线辐射时变电磁场在如下三个区域中有不同的特点：(1）近区：r<<元，故kr→0,(5.12)式中ek~1,即推迟效应可忽略，因此近区的场为似稳场，电场近似于静电场，磁场近似于稳恒磁场，场强E和B~1/r2.近区的场与激发源的电荷电流相互作用相互制约，因此，对于一般的辐射系统，应当通过求解边值问题，才能找出电流分布函数.(2）远区：r>>元，kr>>1,(5.12)式中分母rR，R是坐标原点到场点的距离.相因子中kr=kR-keR-x.此处主要为横向的辐射场(TEM波)：B=VxA=ikeRXA,E=cBxeR(5.14)2
此时 E 的横场部分(无散场)由 A 描写,纵场部分(无旋场)由ϕ 描写.若选择洛伦兹规范 0 1 2 = ∂ ∂ +⋅∇ c t ϕ A (5.7) 从场方程(5.1)可得达朗贝尔方程 J A A 0 2 2 2 2 1 −= μ ∂ ∂ −∇ tc , 0 2 2 2 2 1 ερ ϕ ϕ −= / ∂ ∂ −∇ tc (5.8) 这组方程表现出对称性——电流产生矢势波动,电荷产生标势波动. 5.2 推迟势和辐射场 电磁波从源点传播至场点,存在推迟效应.真空中电磁波的传播速度为 ,因此达朗贝 尔方程的解为推迟势 c ∫ ′ ′ = V Vd r crt t )( 4 )( 0 /xJ xA , - , π μ (5.9) ∫ ′ ′ = V Vd r crt t )( 4 1 )( 0 /x x , - , ρ πε ϕ (5.10) r 是源点 到场点 x′ x 的距离, 时刻场点的势决定于 t ′ = − /crtt 时刻辐射源的状态,即场点上 势的变化滞后于源的变化.当电荷电流以角频率ω 振动时： ti et ′ ′′ = ′ - ω , xJxJ )()( , (5.11) ti et ′ ′′ = ′ ω ρρ - , xx )()( 由电荷守恒定律得∇′ J =⋅ iωρ ,可知电流分布 J 给定,电荷分布 ρ 也就给定.故矢势 ti et - ω , = xAxA )()( , ∫ ′ ′ = V ikr Vd r )( e 4 )( 0 xJ xA π μ (5.12) 可以完全地确定电磁场.相因子 e ikr 表示波从源点传至场点时,相位滞后了 φ = kr ,其 中, ω ck == π /2/ λ , λ 为波长.任意点的场强为 B = ∇ × A , E ×∇= B k ic (5.13) 只要知道电流分布函数 J ,由(5.12)和(5.13)便可计算电磁辐射,包括天线辐射. 时变电磁场在如下三个区域中有不同的特点： (1) 近区: r << λ ,故 ,(5.12)式中 ,即推迟效应可忽略,因此近区的场为 似稳场,电场近似于静电场,磁场近似于稳恒磁场,场强 kr → 0 ≈ 1 ikr e E 和 B 2 /1~ r .近区的场与激发源的 电荷电流相互作用相互制约,因此,对于一般的辐射系统,应当通过求解边值问题,才能找出 电流分布函数. (2) 远区: r >> λ , , kr >> 1 (5.12)式中分母 r ≈ R , 是坐标原点到场点的距离.相因子 中 .此处主要为横向的辐射场(TEM 波)： R ⋅−≅ xe ′ R kkRkr = ∇ × ≅ ik R × AeAB , R = c × eBE (5.14) 2
波矢量k=keR，eR是坐标原点指向场点的单位矢量，场强~1/R(3）感应区：r～入，似稳场与辐射场的过渡区域5.3辐射场的多极展开当激发源的线度1<<，在远处即r>>1，将(5.12)式中的相因子eikr对keR·x展开为级数，有HoeikR(5.15)A(x)=J(x'[l-ikeRx'+..-Jdv4元RJ,第一项为电偶极辐射，第二项包括磁偶极和电四极辐射，略去的各项为各高级矩的辐射.电偶极辐射场为A=HgeiR(5.16)p4元ReiRB=ikerxA:Xe4元0cReikR(5.17)E=cBxeR-(PxeR)xeR4元0c?R电偶极矩p的振幅po由第二章(2.12)式计算.当p=Poe-ioe.,平均辐射能流和辐射功率为HoopPosin?CeRCS=-(B*-B)eR(5.18)2μo32元2cR2P- f3.R'ddeR = 4o'pP?(5.19)Js12元c因子sin描述辐射的方向性（角分布).磁偶极辐射场为ikuoeikR(5.20)A=eRxm4元RB= iker ×A= Hoertr-(mxeR)xeR4元RoeikR(5.21)E=cBxeR=mxeR4元Rm的振幅mo由第三章(3.8)式计算.若在(5.17)式中，作代换p→m/c，E→cB，cB→-E，亦可得到磁偶极m的辐射场.当m=moe-iate:，平均辐射能流和辐射功率为Ho*m(B*·B)eR=S=-SineeR32元2c3R22μoP=Hoo'm?(5.22)12.元c3电四极的辐射场，平均辐射能流和辐射功率为HoeikR其中量D=eR·DD"(5.23)Ap:24元cR3
波矢量 , = kek R eR 是坐标原点指向场点的单位矢量,场强 1~ /R . (3) 感应区: r ~ λ ,似稳场与辐射场的过渡区域. 5.3 辐射场的多极展开 当激发源的线度 l << λ ,在远处即 ,将(5.12)式中的相因子 对 展开为级 数,有 >> lr ikr e ⋅ xe ′ R k ik Vd R e R V ikR = ′ ⋅ ′ + ′ ∫ [1)( ] 4 )(xA 0 - xexJ L π μ (5.15) 第一项为电偶极辐射,第二项包括磁偶极和电四极辐射,略去的各项为各高级矩的辐射.电偶 极辐射场为 A p& R e ikR π μ 4 0 = (5.16) R ikR R Rc e ik AeB =×= && × ep 3 4πε 0 RR ikR R Rc e c eBE =×= )×× eep 4 2 0 ( && πε (5.17) 电偶极矩 的振幅 由第二章 p p0 (2.12)式计算.当 = 0ep - ωti ep z ,平均辐射能流和辐射功率为 R R cR c p eBBS θe π ωμ μ 2 22 2 0 4 0 0 sin 32 )( 2 =⋅= ∗ (5.18) c p dRP R S π ωμ 12 2 0 4 2 0 =Ω⋅= ∫ eS (5.19) 因子 描述辐射的方向性 sin2 θ (角分布).磁偶极辐射场为 A = × me R ikR R eik π μ 4 0 (5.20) RR ikR R Rc e ik AeB =×= )×× eem 4 2 0 ( && π μ R ikR R cR e c eBE −=×= && ×em π μ 4 0 (5.21) m 的振幅 由第三章 m0 (3.8)式计算.若在(5.17)式中,作代换 → mp /c , E → cB , cB → -E ,亦 可得到磁偶极 m 的辐射场.当 m = 0em - ωti ez ,平均辐射能流和辐射功率为 R R Rc c m eBBS θe π ωμ μ 2 232 2 0 4 0 0 sin 32 )( 2 =⋅= ∗ 3 2 0 4 0 12 c m P π ωμ = (5.22) 电四极的辐射场,平均辐射能流和辐射功率为 D&& cR e ikR π μ 24 0 AD = , 其中矢量 (5.23) →→ D e R ⋅= D 3
B=HoeikRD"xeR,E=cBxeR(5.24)24元cR5 = 2元(B* B)eR = 40(5.25)-(DXeR)eR4元288mcR22μoP=Ho_1Z9](5.26)4元360c3元电四极矩的振幅可由第二章(2.13)或(2.15)式计算。若激发源的电流振辐为1o，电偶极的平均辐射功率P~(/2)21，而磁偶极和电四极均有P~(1/2)41，由于1<<,故电偶极辐射能力比磁偶极和电四极大(/a)2数量级5.4电磁波的衍射当电磁波遇到障碍物或小孔时，将发生衍射.经典光学把光波面上每一点x，都看成是可以发射子波的次级光源，向前传播的光波是所有子波的叠加.场强的任一直角分量（x)，以及作为次级光源的波面每一点上的格林函数G(x,x)，分别满足方程(V2 +)(x)=0(5.27)(V2 +k)G(x,x")=-4元8(x-x)(5.28)于是由格林公式（附录IⅢI.5式）,在区域V内任一点x上，有Lfeikr1、1()= [x)+(-—as(5.29)这便是基尔霍夫公式，其中en是V的边界面S指向内部的法向单位矢量，er/r是方程(5.28)的解，表示从S每一点x向场点x发出的子波，子波的强度为x)，其法向导数为en·V'(x)=a/an，若能对这两个函数作出近似估计，由(5.29)式便可计算V内的波当电磁波从无穷大屏幕中的小孔通过时，设小孔处的入射波为平面波，入射波矢为ki，振幅为，假定屏幕各点上=0，aan=0，于是由(5.29)式，衍射波的表达式为0(x)=_ ibelkRei(k,-k2)(cose,+cos0,ds(5.30)4元RJs积分遍及小孔面积S，R是小孔中心到场点x的距离，x是小孔面上任一点的位矢，衍射波矢kz=keR，,和,分别是k,和k,与孔面法线的夹角.cos6,+cos6,称为倾斜因子5.5电磁波的动量和动量流辐射压力真空中电磁波的能量密度、动量密度和动量流密度分别为-(60E2+B=/u0)=60E2=B/uo(5.31)24
R B = D × e &&& Rc eikR 2 0 24π μ , R = c × eBE (5.24) R R Rc c eBBS eeR 2 23 0 0 )( 288 1 4 )( 2 =⋅= × ∗ D &&& π π μ μ (5.25) 2 3 1, 3 0 360 1 4 ∑= = ji ij c P D &&& π μ (5.26) 电四极矩的振幅可由第二章(2.13)或(2.15)式计算. 若激发源的电流振辐为 I 0 ,电偶极的平均辐射功率 2 0 2 λ)/(~ IlP ,而磁偶极和电四极均有 2 0 4 λ)/(~ IlP ,由于l << λ ,故电偶极辐射能力比磁偶极和电四极大 数量级. 2 l λ)/( 5.4 电磁波的衍射 当电磁波遇到障碍物或小孔时,将发生衍射.经典光学把光波面上每一点 ,都看成是 可以发射子波的次级光源,向前传播的光波是所有子波的叠加.场强的任一直角分量 x′ φ x)( , 以及作为次级光源的波面每一点上的格林函数G xx ′),( ,分别满足方程 0)()( 22 k φ x =+∇ (5.27) )(4)()( 22 +∇ Gk , xx ′ −= πδ - xx ′ (5.28) 于是由格林公式(附录Ⅲ.5 式),在区域V 内任一点 x 上,有 Sd rr ik r e S ikr −= ⋅ ∇′ ′ + ′′ ∫ )]() 1 ()([ 4 1 )( n x r x φ xe φ π φ - (5.29) 这便是基尔霍夫公式,其中 是V 的边界面 指向内部的法向单位矢量, 是方程(5.28) 的解,表示从 每一点 向场点 n e S re ikr / S x′ x 发出的子波,子波的强度为 φ x′)( ,其法向导数为 ⋅∇′φ ′)( φ ∂∂= n/ n xe ,若能对这两个函数作出近似估计,由(5.29)式便可计算V 内的波. 当电磁波从无穷大屏幕中的小孔通过时,设小孔处的入射波为平面波,入射波矢为 , 振幅为 k1 φ0 ,假定屏幕各点上φ = 0 , ∂φ ∂n = 0/ ,于是由(5.29)式,衍射波的表达式为 e S R ei S i ikR −= + ′ ∫ ⋅ ′ d)cos(cos 4 )( 0 21 1 2 0 )( θθ π φ φ xkk x - (5.30) 积分遍及小孔面积 S0 , R 是小孔中心到场点 x 的距离, x′是小孔面上任一点的位矢,衍射波 矢 , R 2 = kek θ1和θ 2 分别是 和 与孔面法线的夹角. k1 k2 1 2 θ + coscos θ 称为倾斜因子. 5.5 电磁波的动量和动量流 辐射压力 真空中电磁波的能量密度、动量密度和动量流密度分别为 0 22 00 22 0 ( ) 2 1 ε BEw / εμ ==+= BE /μ (5.31) 4
g=EoExB=S/c2=(wlc)ek(5.32)T =cgexe =wekekT(5.33)e为波矢方向的单位矢量.电磁波对宏观物体表面的辐射压力为s=-e,-T(5.34)e.是物体表面外法向的单位失量.5
k SBEg )/(/ e 2 0 ε ==×= cwc (5.32) kkkk == wcgT eeee →→ (5.33) k e 为波矢方向的单位矢量.电磁波对宏观物体表面的辐射压力为 →→ S ef n ⋅−= T (5.34) n e 是物体表面外法向的单位矢量. 5