第十三章函数列与函数项级数81一致收敛性我们已经知道可以用收敛数列（或数项级数）来表示或定义一个数，本章将讨论怎样用函数列（或函数项级数）来表示（或定义）一个函数，并研究这个函数所具有的性质，一函数列及其一致收敛性设(1)fi,f2,",fn,是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列.（1)也可简单地写作：if,f或 fn，n=1,2,..设oEE，以o代人（1）可得数列(2)fi(xo),f2(ro),",fn(xo),"若数列(2)收敛，则称函数列(1)在点x。收敛，o称为函数列(1)的收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在点xo发散.若函数列(1)在数集DCE上每一点都收敛，则称（1)在数集D上收敛.这时D上每-点，都有数列1f,（）的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列（1)的极限函数.若把此极限函数记作，则有limf,()=f(r),E D或fn()-→f(r)(n →),ED.函数列极限的e一N定义是：对每-一固定的xED,任给正数ε，恒存在正数N（注意：般说来N值的确定与e和的值都有关，所以也用N(e，）表示它们之间的依赖关系），使得当n>N时，总有Ifn()-f()/<e使函数列f，收敛的全体收敛点集合，称为函数列！f,的收敛域例1设f，（α）=z"，n=1,2，为定义在（o0，)上的函数列，证明它的
81一致收敛性27收敛域是（一1.1.且有极限函数{0, 1|<1,f(α) =(3)(1,x=1.证任给 >0(不妨设 <1),当0</|<1时,由于Ifn(α)-f()/=/n,Ine只要取 N(e,)=,当n>N(e, )时,就有Ifn(x)-f(α)/ <e.当=0和=1时，则对任何正整数n，都有1 f,(0) - f(0)/ = 0 < e,1 fn(1) - f(1)I = 0< e这就证得f，在（-1,11上收敛，且有3)式所表示的极限函数当||>1时,则有||n→+(n→),当=-1时,对应的数列为-1,1, - 1,1,...口它显然是发散的.所以函数列”在区间（-1,1)外都是发散的，例2 定义在(- , + )上的函数列 f,(z)=sin n,n =1,2,….由于对n任何实数，都有sin nx故对任给的 e>0,只要 n>N=1,就有sin nrn sin n的收敛域为无限区间(-80,+0),极限函数f()=0.所以函数列对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质.比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性.又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D上的收敛是不够的，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行，这就是以下所要讨论的一致收敛性问题，定义1设函数列If，与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数e，总存在某一正整数N,使得当n>N时,对一切ED,都有If,()-f(α)I<e,则称函数列ifl在D上一致收敛于f,记作(n-→), xED.fn(α)二f(r)由定义看到，如果函数列f在D上一致收敛，那么对于所给的e，不管D
28第十三章函数列与函数项级数上哪一点a，总存在公共的N（e）(即N的选取仅与e有关，与r的取值无关），只要n>N，都有I fn(r) - f(α)i < e.由此看到函数列f，在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛.反之，在D上每一点都收敛的函数列f，，在D上不一定一致收敛，如上述例 2 中函数列|sin ,对任给正数e,不管 z取(- 80,+ 0)上什msinnx么值,都可取 N=1(它仅依赖于e的值),当n>N时,恒有<e,所以n函数列 sin nr在（-80，+）上-致收敛于函数f（α）=0函数列f,I在D上不一致收敛于函数f,是指它们不满足定义1的条件.但也可以根据定义1对不一致收敛给予正面的陈述.即函数列（1)在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在某正数e0,对任何正数N，都有D上某一点与正整数n>N（注意：与n的取值与N有关），使得If,(α)-f(a)/ ≥.从前面例1中知道，函数列”在(0,1)上收敛于f（α）=0.我们证明它在，对任何正数N,取正整数n>N+1及(0,1)上不一致收敛.事实上,令eo=，11“E(0,1),则有Ix"-01 =1-1≥1.n 2函数列(1)一致收敛于f,从几何意义上讲：对任何正数ε，存在正整数N，对于一切序号大于N的曲线y=f（）,都落在以曲线y=f（α）+与y=f(α）-e为边（即以曲线yf()为中心线”宽度为2e）的带形区域内（如图13~1所示）函数列(在区间(0,1)内不一致收敛，从几何意义上讲：存在某个事先给定的e（<1),无论N多么大，总有曲线y=r"(n>N)不能全部地落在以=e与y=-ε为边的带形区域内，如图13-2所示，若函数列1"只限于在区间>ln(其中0<e<1),曲线y="就全(0,6)(b<1)内讨论，容易看到,只要 n>%(部落在以y=和y=-为上下边的带形区域内.所以（"在（0，6）内是一致收敛的.定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列1f，在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给正数e，总存在正数N，使得当n，m>N时，对切ED,都有
81一致收敛性29ylyf(x)+fixf(x)-Ef.(x1bxa图13-1图 13-2(4)I fn(α) - fm(r)l <e.证【必要性】设f（)二f(）（n-),ED,即对任给>0,存在正数N,使得当n>N时，对一切ED,都有Ifn()-f(α)/ <号(5)5于是当n，m>N由（5)就有Ifn() -fm()/≤lf() f()/ +f() - fm()lE+=E【充分性】若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，If,1在D上任一点都收敛，记其极限函数为f(）ED.现固定（4)式中的n，让m→oo，于是当n>N时,对一切xED都有fn(α) -f(r)/≤e.口由定义1,f,()二f(）(n-→o0),ED.根据一致收敛定义可推出下述定理：定理13.2函数列I，1在区间D上一致收敛于f的充要条件是：(6)lim suplfn(α) -f(α)/ = 0.证【必要性］若f,()二f(）（n→),ED.则对任给的正数e，存在不依赖于的正整数N，当n>N时，有If(α)-f(r)I <e, ED.由上确界的定义,亦有suplf,() -f()I ≤e.-这就证得(6)式成立[充分性］由假设,对任给>0,存在正整数N,使得当n>N时,有(7)Slf(α) - f()/ < e
30第十三章函数列与函数项级数因为对一切rED,总有If,(r) -f()I ≤ suplfn() -f()l.故由(7)式得l f(r) - f(α)/ <e.口于是if，在D上一致收敛于f.在判断函数列是否一致收敛上定理13.2更为方便一些（其缺点是必须事先知道它的极限函数），如例2，由于1sin nrlimlim= 0.supTnnn-所以在(-0,+ c)上,sin n0 (n→8)1例3定义在[0,11上的函数列1[2n?x,02n<1≤(8)fn() = {2n -2n2x,n = 1,2,...,2nn1<r≤1,[0,n其中n=1,2,3的图象如图13-3所示由于f（0）=0,故f（0）=limf（0）=0.当10<≤1 时,只要 n>，就有f（α）=0，故在(0,1]上有f(r）=limf,(α）=0.于是函数列(8)在[0,1]上的极限函数f（α）=0.又由于, I fu() - f(r)I432= n→8 (n→0),f图13-30所以函数列(8)在[0,17上不-致收敛二函数项级数及其一致收敛性设/u（α）是定义在数集E上的一个函数列，表达式(9)ui(α) +u2()+...+un() +.",EE称为定义在 E 上的函数项级数,简记为 u,(z)或 Zu,(z).称S,(x) = Zu(r), rEE,n = 1,2,..(10)±=1