3181一致收敛性为函数项级数（9）的部分和函数列，若roEE，数项级数(11)ui(co) + u2(xo) +... + u.(ro) + ...≥u（zo）当n→0时极限存在,则称级数(9)在点收敛，即部分和S,（zo）=k=1x。收敛，ro称为级数(9)的收敛点.若级数（11)发散，则称级数(9)在点xo发散.若级数(9)在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数(9)在D上收敛.若D为级数(9)全体收敛点的集合，这时则称D为级数(9)的收敛域.级数(9)在D上每一点x与其所对应的数项级数(11)的和S（α）构成个定义在D上的函数，称为级数（9)的和函数，并写作ui(α)+uz(r) +...+ un(α)+ ... = S(r), x ED,即limS,(r)=S(x), ED.也就是说，函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分和函数列(10)的收敛性.例4定义在（-80，+）上的函数项级数（几何级数）(12)1+r+r?+... +r"+的部分和函数为 S,(z)=.当lzl<1时，1-rS(r) = limS,(α) =1-所以几何级数(12)在(-1,1)内收敛于和函数 S(z）=,;当|z|≥1时,几何1-3口级数是发散的函数项级数(9)的一致收敛性定义如下：定义2设S（）是函数项级数u（）的部分和函数列.若lS（）在数集D上一致收敛于函数S(α）,则称函数项级数≥u,（α）在D上一致收敛于函数S（），或称Zu（r）在D上一致收敛.由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以由前段中有关函数列一致收敛的定理，都可推出相应的有关函数项级数的定理：定理13.3（一致收敛的柯西准则）函数项级数≥u，（α）在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数e，总存在某正整数N，使得当n>N时，对一切ED和一切正整数，都有ISnt() -S,(α)I < 或
32第十三章函数列与函数项级数Iunt)(α)+ un+2(α) + ... + un+p(r) < e此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件推论函数项级数u，（α）在数集D上一致收敛的必要条件是函数列iu（x）在D上一致收敛于零设函数项级数≥u（）在D上的和函数为S(r），称Rn(r) = S(r) - S,(α)为函数项级数u，（）的余项定理13.4函数项级数》u，（x）在数集D上-致收敛于S（z）的充要条件是lim suplR,()/ = lim supls() - S,()/ = 0.o”,若仅在[-a，a](a<1)上讨论，则由我们再来看例4中的级数n=0二”eupe,/S,() - S()/ = eup.ali7Ea(n-→8)+0可得级数>在[-a，a]上一致收敛.若在（-1,1)上讨论这个级数，则由nnti/S,(α) -S(α)I =susupnE-48(n→8)+1”在（-1,1)内不一致收敛知道级数入#=0函数项级数的一致收敛性判别法三判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义或定理13.4外，有些级数还可根据级数各项的特性来判别，定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数Zu（α）定义在数集D上，>M，为收敛的正项级数，若对一切rED，有(13)I u,(a)[<Mn, n = 1,2,..则函数项级数u，（）在D上一致收敛，证由假设正项级数≥M，收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数N，使得当n>N及任何正整数p，有IMn+1 +..+Mn+pl = Mn+1 +. + Mn+p<e.又由(13)式对一切rED有
81一致收敛性33Iun+i(α) + ... + un+p(r)/ </ un+(α)/ + ... + lun+p(r)/<Mn+1 +... + Mn+p < e.根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数》u，（α）在D上一致收敛0例5函数项级数sin nrZycosntn?n?在(-80,+80)上一致收敛.因为对—切E（～00,+80)有.1sin nrcos nr123,n2n?n2而正项级数>1口是收敛的，定理13.5也称为M判别法或优级数判别法.当级数≥u（α）与级数M在区间[a，6]上成立关系式（13)时，则称级数>M在[a，b]上优于级数u（α），或称Mn为Zun（）的优级数下面讨论定义在区间I上形如Zun(r)n(r)=ur(r)vj(r)+u2(r)v2(x)+...+u,(r)o,(α)+...(14)的函数项级数的一致收敛性判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝耳分部求和公式（第十二章83的引理）.定理13.6（阿贝耳判别法）设(i）≥u，（z）在区间1上致收敛；（ii）对于每个EI，iu（）是单调的；（ii）|（）在I上一致有界，即对切E「和正整数n，存在正数M，使得I,(α)I<m,则级数(14)在I上-致收敛证由(i),任给ε>0,存在某正数N,使得当n>N及任何正整数p,对一切EI,有I un+1(α) +. + un+p(α)/ <e又由（i）)，（ii)及阿贝耳引理（第十二章83引理的推论）得到Iun+I()un+1(α) +*. + un+p(r)un+p(α)l<(/ n+1()/ + 2/ Un+(α)/)e ≤3Me.于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论定理13.7（狄利克雷判别法）设(i）Zu,（α)的部分和函数列
34第十三章函数列与函数项级数"U,()=(u(r)(n = 1,2,..)k=1在I上一致有界；(ii）对于每一个EI，lU（）是单调的；(ili)在 I 上,()二0(n→0),则级数(14)在I上致收敛证证法与定理13.6相仿.由(i),存在正数 M,对一切αEI,有/U,(x)I<M.因此当n，p为任何正整数时，Iun+1(α) + ... +un+p(α)/ = [Un+p(α) - Un(x)l ≤2M.对任何一个αEI,再由（ii)及阿贝耳引理，得到I un+I(α)Un+1(r) + .. + un+p()un+p(α)/<2M(/Un+1()/ + 2/ Un+p(α)/).再由(ii),对任给的>0,存在正数N,当 n>N时,对一切EI,有vn(α)/ <e,所以I un+1(α)Un+1(r) + . + untp()Un+p(x)/ <2M(e +2e) = 6Me.口于是由一致收敛性的柯西准则,级数(14)在I上一致收敛例6函数项级数>(-1)"(α + n)"nnti在[0,1]上一致收敛.因为记 u,(z)=（-1)",时,由阿贝耳,U,(x)n口判别法（定理13.6）就能得到结果，例7若数列Ia,单调且收敛于零,则级数(15)Za,cos na在[α,2元-α](0<α<元)上一致收敛证由第十二章≤3(21)式，在[α，2元-α]上有1sinn21/2r2sin21122a2sinsin22
3581一致收敛性所以级数cosnr的部分和函数列在[α,2元-α]上一致有界①,于是令u,() = cos nt,Un(α) = an口则由狄利克雷判别法可得级数(15在[α,2元-α}上一致收敛对于例7中的级数（15）,只要(αa，单调且收敛于零，那么级数（15)在不包含2k元（k=0，±1，±2，.）的任何闭区间上都一致收敛，习题1.讨论下列函数列在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：12+1(1) fn(r)=n=1,2,",D=(-1,1);271+n12n=1,2, ",D=(- 0, + 00);(2) fn(r)=-1[-(n+1)r+1,0<x≤n+1(3) fn(r)=[o,n+i<x<1,n=1,..(4) f,(z)=工,n=1,2,**,(i)D=[0, + 00),(ii)D=[0,1 000];(5) f,(α)=sin,n=1,2,,(i)D=[-I,I],(ii)D=(- 00, +00).2.证明：设f(α)→f(),rED,a,→0（n→0）（an>0).若对每—个正整数n有If(）-f()/≤an，ED,则ifm在D上一致收敛于f.3.判别下列函数项级数在所示区间上的-一致收敛性：(2) 2)"-T(1+),se(-8,+8);(1) 27Z(n-1),re[-r,r];rE[0,1];(4) >(3) Zn,lx>r≥1;12(5) (-1)"-1(++2)r-itE(-00, +00).,xE(-,+);(6) >r+n4.设函数项级数》u（α)在D上一致收敛于S(），函数g（z）在D上有界.证明级数g()un()在D上-致收敛于g(α)()5.若在区间1上，对任何正整数n，1 un() I≤vn(α),证明当（在【上-致收敛时，级数》u（）在1上也致收敛，6.设u（α）（n=1,2，)是[a，b]上的单调函数，证明：若u（a）与>un（b)都绝对收敛，则un()在[a,b]上绝对且致收敛①对于定义在D上函数列f（）,若存在正数M，对-切zED,都有1f（)/≤M（n=1,2)成立，则称1J(r)！在D上一致有界