83一般项级数211.2uvuv4,0+u2',-u,0,--u,02u.Un+uD,uv,-u,Du,U.u.o,u_U,-u04.0u,o4.0u,D,uv4.0图 12 -1定理12.14(柯西定理）若级数（11）、（12)都绝对收敛，则对（13)中所有乘积uu,按任意顺序排列所得到的级数≥w,也绝对收敛，且其和等于AB.证以S表示级数I,l的部分和，即S,=Iwi/+/w2l+...+/w,1,其中 w=u;",(=1,2,",n),记m=maxlip,ji,iz,j2,"",in,jnl,Am = [ul +[u2l +.. + Iuml,Bm = / ul + [u2l +.+I 0ml,则必有(16)S,<AmBm由定理条件，级数(11)与(12)都绝对收敛，因而|unl与||的部分和数列(A,|和（B1都是有界的.于是由不等式(15)知1S,l是有界的，从而级数≥w,绝对收敛。由于绝对收敛级数具有可重排的性质，也就是说级数的和与采用哪一种排列的次序无关.为方便求和，采取级数(14)按正方形顺序)并对各被加项取括号，即
22第十二章数项级数uiVi+(uiV2+u22+u201)+(uiV3+u2U3 +u3U3 +u302+u30i)+把每一括号作为一项，得新级数(17)PI + p2 +p3 + ... + p + ...它与级数w，同时收敛，且和数相同.现以P，表示级数(17)的部分和，它与级数(11),(12)的部分和A，与B,有如下关系式：P, = A,Bn.从而有口limPn=limA,B,= limA, limB,=AB.例2等比级数11+r+r?+.+rn+..., Ir<11-是绝对收敛的.将（Zr")2按（15)的顺序排列，则得到1(-r)=1+(r+r)+(?+?+2)+.+("++r)+..n+1个口=1+2r +3r2+... +(n +1)r" +...三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换）设e，（i=1,2，"，n）为两组实数,若令(k = 1,2,",n),O = 1 + 02 +... + Ue则有如下分部求和公式成立：: = (e12) +(e2-3)o2++(e--)-+ (18)证 以 1=01,z=o-0k-1(=2,3,",n)分别乘以 e(=1,2,,n),口整理后就得所要证的公式(18).推论（阿贝耳引理）若(i)e1,e2,",en是单调数组；(）对任一正整数k(1<kn）有l,l≤A（这里=+…+）,则记e=maxlle,1时，有(19)≤3eA.证由(i)知道E1-E2,E2-E3,,En-1- En都是同号的.于是由分部求和公式及条件（i）推得erk= l(ei - E2)oi + (E2 - E3)o2 +*. +(en-1 - en)on-1 + enon l
83一般项级数23<Al(ei-E2) +(e2 -E3) +... + (en-1 -En)l +Ale, l=Alei- enl +Ale, l<A(/er/ +21enl)口<3eA.现在讨论级数(20)Za,bn=aib,+a2b2+.+arbn+...收敛性的判别法定理12.15（阿贝耳判别法）若la，为单调有界数列，且级数b，收敛，则级数(20)收敛证由级数>b，收敛，依柯西准则，对任给正数e，存在正数N，使当n>N时对任一正整数力，都有又由于数列ia,l有界，所以存在M>0,使la,l<M,应用(19)式结果可得到≤3Mera.t口这就说明级数(20)收敛定理12.16(狄利克雷判别法）若数列la，l单调递减，且liman=0，又级数Z6，的部分和数列有界，则级数(20)收敛证明方法类似于定理12.15，请读者自证，由阿贝耳判别法知道，若级数≥u，收敛，则下述两个级数：unJu(p>0),nn+1都收敛例3若数列ia，l具有性质：liman = 0,a≥a2≥an≥则级数ansinn和ancos nr对任何E（0,2元）都收敛解因为2cos kr)=sin号+(sin号x-sin号2sin号(1++[sin(n +)± - sin(n -)r]
24第十二章数项级数sin晋≠0,故得到当E(0,2元)时,sin2sinn1(21)cosk2k=12sin2所以级数》cosnr的部分和数列当E（0,2元）时有界，由狄利克雷判别法推得口级数a,cosnr收敛.同理可证级数ansinnr也是收敛的作为例3的特殊情形，我们知道级数sin ncos nr和2nn对一切E（0,2元）都收敛习题1.下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1) ysin rz.(2) E(- 1)nn+iin！;2.(3) (-1)"(4) Z(- 1)"sin -2(6) ≥(-1)ln(n + 1).((-1)"+1)(5) ≥n+1Nnm(7) Z( -1) (2n + 100)*(工)"(8) Zn!3n+12.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1) -1)_(α>0);ni+x(2) in,E(0,2元) (α>0);ng(3) ( - 1)n cos nz73.设an>0,an>an+1(n=1,2,)且lima,=0.证明级数(-1)"-1αi + a* + + arn是收敛的，4.设p，9，如(8)式所定义.证明：若u条件收敛，则级数p与Zqn都是发散的.5，写出下列级数的乘积：
总练习题25(-10)"1)21"n!(a+b)n与又6.证明级数g！绝对收敛，且它们的乘积等于d n!eon!n!7.重排级数(-1)+11,使它成为发散级数，-(V)8.证明：级数>收敛.n总练习题1.证明：若正项级数un收敛，且数列lun|单调，则limnu,=0.2.若级数an与c，都收敛，且成立不等式an≤bm≤cn(n = 1,2,),证明级数b，也收敛若an，c，都发散，试问b,一定发散吗？n=k0，且级数>b，绝对收敛，证明级数≥a，也收敛.若上述条件中只知道3.若lim+oobb,收敛，能推得Za，收敛吗？4.（1)设un为正项级数，且"ntl<1,能否断定un收敛？heun+1≥1，能否断定级数un不绝对收敛，但可能条件收敛？(2）对于级数u，有u（3）设≥un为收敛的正项级数，能否存在一个正数e，使得un= c>0.lim1nIte5.证明：若级数an收敛，Z(bh+1-b,)绝对收敛，则级数a,b,也收敛6.设a>0,证明级数a.(1+a,)(1+ a2).(1+a,)是收敛的，7.证明：若级数a与b收敛，则级数ab，和(an+b,）2也收敛，且(Eab,)<Ea.Eb,(2(a, +b,)2)≤(a2)2+(2b2)