16第十二章数项级数习题1.应用比较原则判别下列级数的敛散性，1(1) (2) ≥ 2"sinn2+a2;41(4) (3) >)台(ln n)niV1+n(6) 1一(5) (1 - cos -nini1n(8)(7) (va -1) (a>1):-2 (ln n)hnn(9) (a+α-2) (a>0).Y2.用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性：(2) (n+ 1)1,(1) y1:3.(2n -1).n!10n(4) yn!3(3)2n+1(s) n(6) y3":n!2;n"(7)(其中ana(n-);an,b,a>0,且a≠b).3.设u,和u,为正项级数，且存在正数No，对一切n>No，有Un+l≤ UntlUaun证明：若级数un收敛，则级数un也收敛；若u,发散，则un也发散4，设正项级数Zan收敛，证明a，亦收敛；试问反之是否成立？5.设an≥0,n=1,2，.且/nanl有界，证明≥a2收敛6.设级数Za收敛，证明》%(a,>0)也收敛.7.设正项级数u,收敛，证明级数Z√unun+,也收敛，8.利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：(2n)！元n"(2) lim =0(a>1)=0;(1) limQn!(n!)29.用积分判别法讨论下列级数的敛散性：(2) 2,*1i(1) Zn?+1i(4) 11(3) 5g nln nln(In n);:3 n(In n)p(Inln n)a,与≥2"a同时收敛或同时发散.10.设1a,1为递减正项数列，证明：级数
83般项级数1711.用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1:3 (2n -1).11(2)2(+1)(r+2).(+ + n)(>0)2.4..(2n)2n+i12.用根式判别法证明级数≥2"（-1)"收敛，并说明比式判别法对此级数无效.13.求下列极限(其中>1)：1(1) limL(n+1)p+(n+2)p(2n)p1E(2) limp+2（+）14.设a>0,证明数列(1+a)(1+a2)..(1+a,)与级数αn同时收敛或同时发散83一般项级数上节我们讨论了正项级数的收敛性问题，关于一般数项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂，本节只讨论某些特殊类型的级数的收敛性问题交错级数若级数的各项符号正负相间，即u1 - u2 + u3 - us +..+(-1)nu, +... (un>0,n = 1,2,..), (1)则称(1)为交错级数定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数（1)满足下述两个条件：(i)数列lu,l单调递减；(i) limun=0,则级数(1)收敛.证考察交错级数(1)的部分和数列IS,l,它的奇数项和偶数项分别为S2m-1 = ul - (u2 - u3) -.. - (u2m-2 - u2m-1),S2m = (u1 -u2) + (u3- us) + ... +(u2m-1 -u2m).由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列(S2m-11是递减的，而数列tS2ml是递增的.又由条件(ii)知道0< S2m-1 -S2m= U2m→0(m-→ 00),从而[S2m，S2m-1]I是一个区间套.由区间套定理，存在惟一的个数S，使得limS2m-1=limS2m=S.0所以数列(S,收敛,即级数(1)收敛.推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数(1)的余项估计式为|R,/<un+1.对于下列交错级数应用莱布尼茨判别法检验，容易检验它们都是收敛的
18第十二章数项级数111 + (- 1)n+1—(2)1.2n+i311.11(3). + (- 1)nt1(2n - 1)! + ;412+34... +(- 1)n+1 n + ..(4)10102+10310410n二绝对收敛级数及其性质若级数(5)ui+u2+..+un+各项绝对值所组成的级数(6)Iuil + Iu2! +...+IunI +...收敛，则称原级数（5）为绝对收敛定理12.12绝对收敛的级数一定收敛证由于级数(6)收敛，根据级数的柯西收敛准则,对任意正数ε，总存在正数N,使得对n>N和任意正整数r,有Ium+il+lum+2l+...+lum+rl<e.由于I um+1 + um+2 +... + um+rl ≤1 um+1l + I um+2l +...+ l um+rl <e,口因此由柯西准则知级数（5)也收敛，对于级数(5)是否绝对收敛，可引用正项级数的各种判别法对级数（6)进行考察.例1级数3A的各项绝对值所组成的级数是Lα/2α/nSlal=lal+2!n!n!应用比式判别法，对于任何实数α都有I untilLal= 0,limlimTunl#-+0n +1口因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛，若级数(5)收敛，但级数(6)不收敛，则称级数(5)为条件收敛例如级数(2)是条件收敛，而级数（3）、（4)则是绝对收敛全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质、1.级数的重排
83一般项级数19我们把正整数列1,2,.…，n，到它自身的一一映射f:n→k（n）称为正整数列的重排，相应地对于数列(u,t按映射F：un→uk(n)所得到的数列iuk(n)称为原级数的重排.相应于此，我们也称级数uk(n）是级数（5）的重排.为叙n=180述上的方便，记n=uk(n），即把级数uk(n）写作n=I(7)Ui+ U2+..+ 0, +...定理12.13设级数（5)绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数（7）也绝对收敛亦有相同的和数证先假设级数(5)是正项级数，用S，表示它的第n个部分和.现以om=Ui+U2+...+Um表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)的重排，所以每一（1<k≤m）都等于某-u;(1≤k≤m）.记n = maxiii,i2,",iml,则对任何m，都存在n，使m<Sn由于limS,=S，所以对任何正整数m都有om≤S，即得级数（7)收敛，且其和a≤S由于级数（5)也可看作级数（7)的重排，所以也有S≤，从而推得=S若级数(5)是一般项级数且绝对收敛，则由级数(6)收敛及上述证明可推得级数Iu,|也收敛，即级数(7)是绝对收敛的最后证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.为此，令Iunl+unIunl-un(8)，qn=pn=22当un≥0时，=un≥0,g=0；当n<0时，p,=0,9n=u,|=n≥0.从而有(9)0≤p≤uai,0≤qn≤lunl,(10)pn+qn=I un,pn-Qn=un因为级数（5)绝对收敛，故由（9)知道≥pm，≥q都是正项的收敛级数.再由定理12.2可得unq对于级数（5)重排后所得到的级数(7)，也可按（8)式的办法，把它表示为两个收敛的正项级数之差Zun=Epr-qn,其中，qn分别是n，g的重排，前面已经证明收敛的正项级数重排后，它的和不变，从而有口注意：由条件收敛级数重排后所得到的新级数，即使收敛，也不一定收敛于原来的和数.而且条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数.例如级数(2)是条件收敛的，设其和为A，即
20第十二章数项级数111111n+1111+++A.2345678nR乘以常数后，有1111n+11A1X.*+224682n将上述两个级数相加，就得到131-1+11A1 ++3-2+74522.级数的乘积由定理12.2知道，若u，为收敛级数，a为常数，则aun= Zaun与有限项和的乘积，即由此立刻可以推广到收敛级数n=1D)>(a) + a2 +... +amLaiu,un1k=现在讨论在什么条件下能把它推广到无穷级数之间的乘积上去？设有收敛级数u, =ui + u2 +... +un +..=A,(11)(12)Zu, =u, + ? +..+ Un + ...= B.把级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表：ulUnUiVi ujV2 ujV3u2nU2Vi2V2 U2V3u3UnugV gV2 UgV3(13).unVn..unUrUnU2UnU3.......这些乘积u,u；可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序（图12-1所示）依次相加，于是分别有y +i02+22+20i+ 1+23 +303+ 32++..(14)和(15)uiU+iV2+u2Vi+ui3+u202+u3i+