82正项级数11(ii）若对一切n>No,成立不等式Yun ≥1,(12)则级数Zun发散，证由(11)式有un<l".因为等比级数≥1"当0<[<1时收敛，故由比较原则，这时级数>u，也收敛，对于情形(i),由(12)式可推得un ≥in = 1.当n→8时，显然u，不可能以零为极限，因而由级数收敛的必要条件可知，级数0Zun是发散的推论1（根式判别法的极限形式）设u，为正项级数，且(13)lim u, = l,则(i）当l<1时，级数un收敛；(i）当l>1时，级数Zun发散证由(13)式,当取ε</1-l时,存在某正数N,对一切n>N,有l-<yu,<l+e口于是由定理12.8就能得到这个推论所要证明的结论，例7 研究级数≥>2+(=1"的效散性2n解由于Y2 + (- 1)n1limYun=lim2,23+00口所以级数是收敛的，若在(13)式中1=1,则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断.例如，对和，都有T7Yun →1 (n-→ o0)但是收敛的，而却是发散的。n2若（13)式的极限不存在，则可根据根式Vu_的上极限来判断，推论2设Zun为正项级数，且limYun= l,则当(i)[<1时级数收敛；(i）>1时级数发散
12第十二章数项级数本推论的证明可仿照推论1的证法进行例8考察级数b+c+62+c2+..+n+c+.其中0<6<c<1.解由于[(e")2m - Fc,(m -→ 00)Yu,i→人n及limYunYe<1,因此级数是收敛的、但若应用比式判别法，则由于cnUn+1 = limlim+8bnt00un-6"+1un+l = lim=0<1,linuC口则无法应用定理12.7推论2判断其收敛性，读者已从第二章总练习题4（7知道，若untl:lim=q,u7→00则必有limun=q这说明凡能由比式判别法鉴别收敛性的级数，它也能由根式判别法来判断，而且可以说,根式判别法较之比式判别法更有效.例如,级数>2+(=1)".由于2n322m3-2u2mlimlim1m-o u2m-1m-22m-i122m+i1u2m+1limlim-36u2mm+Om-22故由比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.但应用根式判别法来考察这个级数（例7），可知此级数是收敛的，三积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性定理12.9设f为[1，+oo)上非负减函数，那么正项级数≥f(n)与反常
82正项级数13积分f(r)dz同时收敛或同时发散证由假设f为[1,+o)上非负减函数,对任何正数A,f在[1,A]上可积，从而有f(n)<f(α)dx<f(n - 1), n = 2,3,..依次相加可得Z5(n)≤["5(x)dr≤Zf(n -1) = Zf(n).(14)若反常积分收敛，则由（14)式左边，对任何正整数m，有Sn = 2(n)≤f(1)+[" f(a)dz≤f(1)+Jf(α)dr根据定理12.5，级数≥f（n）收敛，反之，若f(n)为收敛级数，则由(14)式右边，对任一正整数m(>1)有(15)"f(α)dr≤Sm-1<Zf(n)=S.因为f()为非负减函数,故对任何正数A，都有f(r)dx≤Sn< S, n<A≤n+1.≤联系（15）式及定理11.2得反常积分f(r)d收敛口用同样方法,读者可以证明f(n)与f(α)da是同时发散的.例9讨论级数一的敛散性，nt解函数(z)=,)当>0时在[1，+)上是非负减函数.由第十章“在p>1时收效,p≤1时发散.故由定理12.9得82例3知道反常积分rp当p>1时收敛，当0<p≤1时发散.至于p≤0的情形,则可由定理12.1口推论知道它也是发散的，例10讨论下列级数1J15(ii)(i)=s n(ln n)(lnln n)n(lnn)的敛散性，da(In z)p,由于解研究反常积分
14第十二章数项级数dx d(In α)r+odur(ln )p(ln x)pJIn2up2当p>1时收敛，p<1时发散.根据定理12.9知级数(i)在p>1时收敛，p<1时发散.dr对于（ii),考察反常积分J3 (ln z)(nln z),同样可推得级数(i) 在 p>1口时收敛,在p<1时发散*四拉贝判别法比式判别法和根式判别法是基于把所要判断的级数与某一等比级数相比较的想法而得到的，也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一等比级数收敛速度快的级数，这两方法才能鉴定出它的收敛性.如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了，因此为了获得判别范围更大的一类级数，就必须寻找级数的通项收敛于零较慢的级数作为比较标准，以p级数为比较标准，得到拉贝（Raabe)判别法，现介绍如下：定理12.10(拉贝判别法）设Zu为正项级数，且存在某正整数N。及常数r，(i)若对一切n>No，成立不等式>1则级数u，收敛；（ii）若对一切n>No，成立不等式uat则级数u.发散≥r可得"+l<1-.选p使1<p<r.由于证(i)由un21- (1-1)p(1 - ±)p-11-(1-r)卫<1,= lim limlimrra1+0二01→0因此，存在正数N，使对任意n>N，(1-1)r>1-这样"<1-(1-(1-1))= (1-↓) = ("_1)u.于是，当n>N时就有..."N. NUn+ -'a.r...uNunun-1(()() n
82正项级数15(N-1)PuNnp当>1时,收效,故级数Zu，是收敛的.(i)由n(1-")<1可得"≥1-="二,于是unnn...a u2un+1 -unun-1u21>n-1.n-2u2n.1n-1.u2.1因为发散，故u，是发散的.推论（拉贝判别法的极限形式）设u为正项级数，且极限Un+1lim nun10存在，则(i)当r>1时，级数un收敛；（i）当r<1时，级数un发散，例11讨论级数2[1(21- 1(16)2·4.(2n)当s=1,2,3时的敛散性，解无论5=1,2,3哪一值，对级数（16)的比式极限，都有lim atl = 1un所以用比式判别法无法判别级数（16)的敛散性.现在应用拉贝判别法来讨论，当s=1时，由于1un+1nn(1 - 2n t1)(n → 00),2n+222n+2/儿所以级数（16）是发散的.当s=2时，由于(1-)= n[1- (2n)]= (4n2→1 (n→8),2+21(2n + 2)2这时拉贝判别法也无法对级数（16）作出判断.当s=3时，由于n(1 - "a)= n[1 - (2n ±) = 2(12n2 + 18n +7) → 号(n→ 00),2(2n + 2)31口所以级数(16)收敛.从上面看到，比式判别法有其局限性，拉贝判别法虽然判别的范围比它更广泛些，但当r二1时仍无法判别.我们还可以建立比拉贝判别法更为有效的方法，但这个过程是无限的.虽然每次都能得到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂.这里就不再介绍了