6第十二章数项级数8.证明级数u，收敛的充要条件是：任给正数e，存在某正整数N,对切n>N总有I un +un+i +. + unl <e9.举例说明：若级数Zun对每个固定的p满足条件lim(uu+1 + .. + un+p) = 0,此级数仍可能不收敛，10.设级数Zu满足：加括号后级数（un+1++un+）收敛（n1=0)，且在同一括号中的um+},un+2，，un，符号相同，证明Zun亦收敛.82正项级数一正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性，定理12.5正项级数>u，收敛的充要条件是：部分和数列1S有界，即存在某正数M,对一切正整数n有S,<M.证：由于u；>0(i=1,2,),所以(S,是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理（定理2.9））.这就证得本定理的结论．口定理12.6（比较原则）设乙u，和≥n是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切n>N都有(1)un≤Un,则(i）若级数u，收敛，则级数un也收敛；（i）若级数u发散，则级数u，也发散证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立现分别以S和S记级数un与u的部分和.由（1)式推得，对一切正整数n，都有(2)SHS若Zn收敛，即limS存在，则由（2）式对一切n有S≤limS，即正项级数u,的部分和数列（S有界，由定理12.5级数un收敛.这就证明了（i)（ii）口为(i)的逆否命题，自然成立
$2正项级数71例 1 考察么的收敛性，cn+1解由于当n≥2时，有111n(n-1)(n -1)2322+1BV1收敛（$1例4)，故由定理12.6和12.3,级数因为正项级数(n- 1)22=21口也收敛，2n+在实际使用上，比较原则的下述极限形式通常更为方便，推论设(3)ui+u2+...+un+..,(4)V1 + 02 +.. + Un +...是两个正项级数，若un:(5)lim=l，00Un则(i）当0<l<+8o时，级数(3)、（4)同时收敛或同时发散；(ii）当[=0且级数(4)收敛时,级数(3)也收敛；(ili）当[=+且级数(4)发散时,级数(3)也发散证由（5),对任给正数e，存在某正数N，当n>N时，恒有unU.或(6)(l -e)un <un<(l + e)on由定理12.6及(6)式推得,当0<l<+8o(这里设e<1)时，级数(3)与(4)同时收敛或同时发散.这就证得（i)对于(i)，当I=0时，由(6)式右半部分及比较原则可得：若级数（4)收敛，则级数(3)也收敛对于(ii),若=+o,即对任给的正数M,存在相应的正数N,当n>N时，都有un≥MUn或un > Mon:
8第十二章数项级数口于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散例2级数是收敛的，因为12n2n1nlimlimlim12nn22n2n以及等比级数》收敛,所以根据推论,级数>也收敛2″2nn例3级数1I1 sinsin1 + sin+sin2nn是发散的.因为1sinnlim= 11n1Y口根据推论以及调和级数习也发散发散，所以级数sin2二比式判别法和根式判别法根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设≥un为正项级数，且存在某正整数N。及常数g(0<g<1)(i)若对一切n>No,成立不等式untl≤q,(7)un则级数u，收敛（ii）若对一切n>No,成立不等式unt1≥1,(8)nn则级数》u，发散证（i）不妨设不等式(7)对一切n≥1成立，于是有unu3≤q,u2≤q,≤g,….u2un-1ui把前n-1个不等式按项相乘后，得到
$2正项级数9uzu3.un.<gn-1uiu2un-或者ui4收敛，根据比较原则及上述不等式可推得由于当0<g<1时，等比级数n=1级数》u,收敛，(i）由于n>N。时成立不等式（8）,即有un+I≥un≥uN:于是当n→oo时，u，的极限不可能为零.由定理12.1推论知级数un是发散口的推论1（比式判别法的极限形式）若un为正项级数，且un+l=(9)lim=q,unn→o则(i）当g<1时，级数un收敛；(ii）当q>1或g=+o时，级数>u，发散证由(9)式,对任意取定的正数e（<I1-gl),存在正数N,当n>N时，都有untl < q + e.q-E:un当g<1时，取e使g+ε<1,由上述不等式的右半部分及定理12.7的(i),推得级数u，是收敛的若g>1,则取ε使g-e>1,由上述不等式的左半部分及定理12.7的(i)，推得级数un是发散的，若g=+8,则存在N,当n>N时有un+1 ≥1,nn口所以这时级数u是发散的.例4级数2: 5 .8..[2+ 3(n -1))2+2.5+2.5.81:5.9..1+4(n-1)141.51:5.9由于32 + 3nunti<1,limlim41 +4nun
10第十二章数项级数口根据推论1级数是收敛的例5讨论级数nx"-1(x>0)的敛散性解因为un+I _ (n +1)x"#.n+l→r(n→),nz"-1nun根据推论1，当0<1<1时级数收敛：当？>1时级数发散：而当r=1时，所考口察的级数是n，它显然也是发散的若(9)中g=1，这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的,也可能是发散的.例如级数和,它们的比式极限都是nnun+1 →1(n -→00),un是收敛的(S1例4),而≥却是发散的（≤1例3).但之Yn若某级数的(9)式的极限不存在，则可应用上、下极限来判别，推论2设u，为正项级数."n±1=q<1,则级数收敛；(i)若limn00un(i)若"二=>1,则级数发散。un对本推论读者可仿照推论1的方法证明例6研究级数(10)1+b+bc+62c+62c2+...+b"cn-1+b"c"+..的敛散性,其中0<b<c解由于b,n为奇数,untlIc，n为偶数，un故有untl=b,Unl=C,limlimun4.于是，当c<1时，级数(10)收敛；当6>1时，级数(10)发散；但当b<1<c时，比式判别法无口法判断级数（10)的敛散性定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法）设≥u，为正项级数，且存在某正数N及正常数I,(i)若对一切n>No,成立不等式(11)Yu,<l<1,则级数u，收敛；