第十二章数项级数81级数的收敛性读者已经在初等数学中知道：有限个实数u1，u2，，un相加，其结果是一个实数.本章将讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其特征.例如，在第二章提到《庄子天下篇》“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的例中，把每天截下那一部分的长度“加”起来：141.12+22+232n这就是“无限个数相加”的一个例子.从直观上可以看到，它的和是1.再如下面由“无限个数相加”的表达式1 + (- 1) + 1 + (- 1) + .中，如果将它写作(1 -1) + (1 - 1) + (1 - 1) +.. = 0 + 0 + 0 + ..其结果无疑是0，如写作1 + [(- 1) +1] + [(- 1) +1] + = 1 +0 +0 + 0 + ..其结果则是1，因此两个结果完全不同.由此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”；如果存在，“和”等于什么？可见，“无限个数相加”不能简单地引用有限个数相加的概念，而需建立它本身严格的理论，定义1给定一个数列un」，对它的各项依次用+”号连接起来的表达式(1)ui+u?+...+un+.称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中u，称为数项级数（1)的通项或简单写作un：数项级数(1)也常写作：Zu.n=1数项级数（1)的前n项之和，记为2u. = + . + un.(2)S, ==1称它为数项级数(1)的第n个部分和，也简称部分和。定义2若数项级数(1)的部分和数列IS,|收敛于S（即limS,=S）,则称
2第十二章数项级数数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和，记作S=u,+u2+...+un+.或S=Zun.若（S，I是发散数列，则称数项级数（1)发散例1讨论等比级数（也称为几何级数）(3)a + aq + aq? +... +aq" +的收敛性(a0)解q≠1时，级数(3)的第n个部分和1-q"Sn = a + aq + ... +aq"1因此,1-q"a此时级数(3)收敛，其和为(i)当|q|<1时,limS,=lima1-q1-qa1-q(i）当lgl>1时，limS,=o0，级数(3)发散，(ii）当g=1时,S,=na，级数发散当q=-1时,S2=0,S2+1=a，=0,1,2,级数发散口总之，1g/<1时，级数(3)收敛；1g/≥1时，级数(3)发散例2讨论数项级数111(4)n(n+1)+.1:2+23+的收敛性，解级数(4)的第n个部分和111Sn:Fn(n+1)1.2+23=(1-)+(-)+(--+)1=1n+i由于-1lim Sn = lim (因此级数(4)收敛,且111口= 1.n(n+1)1.2+2.3由于级数(1)的收敛或发散（简称敛散性)，是由它的部分和数列1S,l来确
381级数的收效性定，因而也可把级数(1)作为数列S,的另一种表现形式.反之，任给个数列(α,，如果把它看作某一数项级数的部分和数列，则这个数项级数就是Eun(5)=ai+(a2-ai)+(a3-a2)+...+(an-an-1)+."".这时数列ia,l与级数(5)具有相同的敛散性，且当(a,i收敛时，其极限值就是级数(5)的和.基于级数与数列的这种关系，读者不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些定理、定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1)收敛的充要条件是：任给正数E，总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p，都有(6)<E.I um+1 + um+2 + ...+ um根据定理12.1，我们立刻可写出级数(1)发散的充要条件：存在某正数ε0，对任何正整数N,总存在正整数mo(>N)和po,有(7)ZE0...+umIum,+1 + umg+2 +由定理12.1立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件，推论若级数(1)收敛,则lim un = 0.例3讨论调和级数11 +2的敛散性，解这里调和级数显然满足推论的结论，即1=0limlimunIn1-但令p=m时,有-T1um+1 + um+2 ++u2mm+2n+m112m2m2m12,对任何正整数 N,只要m>N和p=m就有(7)式成立.所以因此，取0口调和级数是发散的收敛例4应用级数收敛的柯西准则证明级数>
第十二章数项级数证由于I um+1 + um+2 + .. + um+p!11(m +1)2+(m +2)2 +(m + p)211<m(m +1) +(m+1)(m +2) + +(m + p -1)(m + p)11mm+p1m1,使当m>N及对任意正整数p,由上式就有因此,对任给正数ε,取 N=1<EIum+1 + um+2 + .. + um+p/<依定理12.1推得级数》一是收敛的.口定理12.2若级数≥u与u,都收敛，则对任意常数c,d，级数≥（cu,+du,)亦收敛,且Z(cun+du,)=cEun+dun由定理12.1,级数u.的敛散性取决于：对任给正数e，是否存在充分大的正数N，使得当n>N及对任意正整数p恒有（6)式成立.由此可见，一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关.从而我们可得到以下定理，定理12.3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性，由此定理知道，若级数u，收敛，其和为S，则级数(8)un+1+ un+2 +也收敛，且其和R=S-S,.（8)式称为级数》u，的第n个余项（或简称余项），它表示以部分和S，代替S时所产生的误差定理12.4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和，证设≥un为收敛级数，其和为S.记Vi = ui + .". + un,,V2 = un,+1Up = un--+i +.*.TU也收敛，且其和现在证明Zun加括号后的级数（u++..+u也是S.事实上，设S,为收敛级数un的部分和数列，则级数≥u的部分和
81级数的收敛性5数列Sn/是IS,I的一个子列.由于（S,收敛，且limS,=S.故由子列性质，口{S,l也收敛，且limS,=S，即级数us收敛，且它的和也等于S注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛.例如(1 -1) + (1 -1) +... +(1 -1) + ... 0 +0 + 0 +. = 0收敛，但级数1-1+1-1+..却是发散的.习 题1.证明下列级数的收敛性，并求其和数：1(1++++(5n-4)(5n+1)+(+)+.(2)()+(）I+...+3n1C(3) 2n(n+1)(n+2)(4)2(n+2-2/n+1+/n);(5) 2 2n -12n2.证明：若级数Zun发散，c≠0,则Zcu,也发散，3.设级数un与u都发散，试问（un+U）一定发散吗？又若u，与（n=1,2，)都是非负数，则能得出什么结论？74.证明：若数列lanl收敛于a,则级数(anan+1)=ai-a5.证明：若数列1b,l有limb,=00,则（1）级数Z(bn+1-b,）发散；(11(2)当b,0时，级数((bm-bn+1)h6.应用第4,5题的结果求下列级数的和；1(1) >(atn-1)(a+n);(2) 2(-1)n+1. 2n t1n(n+i)2n +1(3) 台（n2+1)[(n+1)2+1）7.应用柯西准则判别下列级数的敛散性：(2) 2(1"n2.(1) 2;2*;2n2+11(3) (-1)"(4) ZTntn