复旦大学：《数学分析》讲稿_Euclid空间上微积分（高维微分学）_向量值映照微分学——隐映照定理应用（曲线与曲面的隐式表示）

高维微分学—一隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表示)谢锡麟 或者表示为 y-30 0y308030(0)0/,s),wm) a(a, y) 事例2(R4中曲线(隐式表示形式)).R4中的曲线可以表示为 e0彡 f(x,y,z,)=0 ∈R19(x,y,z,6) R h(a, 3, z, 0) 0∈R f(o, 30, z0, 00) 设有 /∈r,亦即{00,2046)=0,且有(,9n(xo,920,)≠0,则可构造 60 (h(aro, 30, 20, 0o) g(a, 3, z, 0 h(, g, a 满足 f(xo,30,20,60) F g(x0,90,20,6o) 0∈R h(xo,3o,0,6o) afaf af dr dy ag ag ah0(0,3y0,b)∈R3x3非奇异 ahah ah ay a0 则有彐Bx(0)cR,彐B 3,对vz∈BA(),3(2)=y(2)∈Bnm 0(x) 满足 f(x(z),y(x),z,6(y)) F2, y(a) 9(x(2,(2,2,0(0)|=0∈R3 (z) h(x(z),y(z),2,6(y) 亦即右2)∈r,上述分析的几何化可以表示为 (z)

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 或者表示为 x − x(y0) ∂(f, g) ∂(y, z) (x(y0), y0, z(y0)) = y − y0 ∂(f, g) ∂(z, x) (x(y0), y0, z(y0)) = z − z(y0) ∂(f, g) ∂(x, y) (x(y0), y0, z(y0)) 事例 2 (R 4 中曲线（隐式表示形式）). R 4 中的曲线可以表示为 Γ =           x y z θ        ∈ R 4               f(x, y, z, θ) = 0 ∈ R g(x, y, z, θ) = 0 ∈ R h(x, y, z, θ) = 0 ∈ R    设有        x0 y0 z0 θ0        ∈ Γ，亦即    f(x0, y0, z0, θ0) = 0 g(x0, y0, z0, θ0) = 0 h(x0, y0, z0, θ0) = 0 ，且有 ∂(f, g, h) ∂(x, y, θ) (x0, y0, z0, θ0) ̸= 0，则可构造 F   z,     x y θ       =     f(x, y, z, θ) g(x, y, z, θ) h(x, y, z, θ)     ∈ R 3 满足    F   z0,      x0 y0 θ0        =      f(x0, y0, z0, θ0) g(x0, y0, z0, θ0) h(x0, y0, z0, θ0)      = 0 ∈ R 3 D[ x y θ ]F   z0,      x0 y0 θ0        =         ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂θ ∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂θ ∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂θ         (x0, y0, z0, θ0) ∈ R 3×3 非奇异 则有 ∃ Bλ(z0) ⊂ R, ∃ Bµ       x0 y0 θ0       ⊂ R 3，对 ∀z ∈ Bλ(z0), ∃ ξ(z) =     x(z) y(z) θ(z)     ∈ Bµ       x0 y0 θ0       满足 F   z,     x(z) y(z) θ(z)       =     f(x(z), y(z), z, θ(y)) g(x(z), y(z), z, θ(y)) h(x(z), y(z), z, θ(y))     = 0 ∈ R 3 亦即有        x(z) y(z) z θ(z)        ∈ Γ，上述分析的几何化可以表示为 6

高维微分学—隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表 谢锡麟 所以曲线可以用向量值映照表示为 r(x):B(0)3z+r(x) y (z) 曲线的切向量为 dr (2)=Dr(2) y/(x) ∈R (x2) 另有 r叭0 2)) 0∈R,vz∈B1( 则有 DFIa, y(a)+D=Fz, y(a) 0∈R3 6(2) (z) 即有 af af af af ay a0 0g0 0(90()+mmm(a((.02)v(=0 ah 沥 (x) 所以 af af af (a) agag ag dx dy a0 (9.0)321(9.2,) 0(z) a(, g, h) 0(z,y,) (x(2,y(2),2,2)0,2,0)|(a(2,(=),2,(2) d(a, y, 0) a(, g, h) ,y,之

微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 所以曲线可以用向量值映照表示为 Γ(z) : Bλ(z0) ∋ z 7→ Γ(z) =        x(z) y(z) z θ(z)        ∈ R 4 曲线 Γ 的切向量为 dΓ dz (z) = DΓ(z) =        x ′ (z) y ′ (z) 1 θ ′ (z)        ∈ R 4 另有 F   z,     x(z) y(z) θ(z)       = 0 ∈ R 3 , ∀z ∈ Bλ(z0) 则有 DzF   z,     x(z) y(z) θ(z)       + D[ x y θ ]F   z,     x(z) y(z) θ(z)           x ′ (z) y ′ (z) θ ′ (z)     = 0 ∈ R 3 即有         ∂f ∂z ∂g ∂z ∂h ∂z         (x(z), y(z), z, θ(z)) +         ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂θ ∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂θ ∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂θ         (x(z), y(z), z, θ(z))     x ′ (z) y ′ (z) θ ′ (z)     = 0 所以     x ′ (z) y ′ (z) θ ′ (z)     = −         ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂θ ∂g ∂x ∂g ∂y ∂g ∂θ ∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂θ         −1 (x(z), y(z), z, θ(z))         ∂f ∂z ∂g ∂z ∂h ∂z         (x(z), y(z), z, θ(z)) = − 1 ∂(f, g, h) ∂(x, y, θ) (x(z), y(z), z, θ(z))         ∂(f, g, h) ∂(z, y, θ) ∂(f, g, h) ∂(x, z, θ) ∂(f, g, h) ∂(x, y, z)         (x(z), y(z), z, θ(z)) 7