微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学谢锡麟 2016年4月21日 1知识要素 11切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM会∪{×{TpM p∈M 基于M上的局部坐标叭(x),则有 {p}×TpM~ ∈Rm+ 如当地另有局部坐标v(y),则有 {p}×TpM~ ∈R 且有 P axj (a)XD, i 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系.由此,TM可认识为m+m维流形. 余切向量丛定义为 TM会∪}×{T1 对局部坐标(x)和(y),分别有 p}×TM ×(:dx2 ∈Rm+m v {p}×TpM yp
微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的联络 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 切向量丛、余切向量丛及张量丛 切向量丛定义为 TM , ∪ p∈M {p} × {TpM}. 基于 M 上的局部坐标 ϕ(x), 则有 {p} × TpM ∼ x 1 p . . . x m p × ( x Xi p ∂ ∂xi ) ∼ x 1 p . . . x m p × x X1 p . . . x Xm p ∈ R m+m. 如当地另有局部坐标 ψ(y), 则有 {p} × TpM ∼ y 1 p . . . y m p × ( y Xi p ∂ ∂yi ) ∼ y 1 p . . . y m p × y X1 p . . . y Xm p ∈ R m+m, 且有 y Xi p = ∂yi ∂xj (x) x Xj p , i = 1, · · · , m, 此即切向量分量在不同参数域下的转换关系. 由此, TM 可认识为 m + m 维流形. 余切向量丛定义为 T ∗M , ∪ p∈M {p} × {T ∗ p M}. 对局部坐标 ϕ(x) 和 ψ(y), 分别有 {p} × T ∗ p M ∼ x 1 p . . . x m p × (x θidx i ) ∼ x 1 p . . . x m p × x θ1 . . . x θm ∈ R m+m, {p} × T ∗ p M ∼ y 1 p . . . y m p × (y θidy i ) ∼ y 1 p . . . y m p × y θi . . . y θm ∈ R m+m, 1
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 且有 (y)6j 由此,T*M可认识为m+m维流形 张量丛定义为 831TM会∪p}×81TM 对局部坐标系(x)和v(y),分别有 p}×81Tp a* ∈ Rm p 3/ 且有 由此,811TM可认识为m+m2维流形 对⑧TM=∪p}×8”TM,可有 M3=…可 azir o de e .o dr, 故⑧TM可认识为m+m+s维流形 切向量丛、余切向量丛以及张量丛如图1所示.微分几何中切向量丛、余切向量丛以及张量 从又可统称为向量丛;向量丛本质上为在流形的每一点附加切向量、余切向量或者张量空间,这 种附属的空间又称为纤维.在流形上每一点确定一个切向量、余切向量或者张量(从相应的空间 中确定),则形成切向量场、余切向量场或者张量场.微分几何中切向量场、余切向量场以及张量 场又可统称为向量场 12一般向量丛及其上的联络 定义1.1(向量丛上的联络).设u∈6∞(E)为流形上的光滑向量场,定义 xu:(TM)×6(E) 6(E) 满足 1.对vf,g∈6∞(M),X,Y∈6(TM),有 V fVxw +9V
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 且有 y θi = ∂xj ∂yi (y) x θj , i = 1, · · · , m, 由此, T ∗M 可认识为 m + m 维流形. 张量丛定义为 ⊗ 1,1TM , ∪ p∈M {p} × ⊗1,1TpM. 对局部坐标系 ϕ(x) 和 ψ(y), 分别有 {p} × ⊗1,1TpM ∼ x 1 p . . . x m p × (x Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx i ) ∼ x 1 p . . . x m p × [ x Φ i ·j ] i,j=1,··· ,m ∈ R m+m2 , {p} × ⊗1,1TpM ∼ y 1 p . . . y m p × (y Φ i ·j ∂ ∗ ∂yi ⊗ dy i ) ∼ y 1 p . . . y m p × [ y Φ i ·j ] i,j=1,··· ,m ∈ R m+m2 , 且有 y Φ i ·j = ∂yi ∂xp (x) ∂xq ∂yj (y) x Φ p · q, i, j = 1, · · · , m, 由此, ⊗1,1TM 可认识为 m + m2 维流形. 对 ⊗ r,sTM = ∪ p∈M {p} × ⊗r,sTpM, 可有 ⊗ r,sTpM ∋ Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js , 故 ⊗r,sTM 可认识为 m + mr+s 维流形. 切向量丛、余切向量丛以及张量丛如图1所示. 微分几何中切向量丛、余切向量丛以及张量 丛又可统称为向量丛; 向量丛本质上为在流形的每一点附加切向量、余切向量或者张量空间, 这 种附属的空间又称为纤维. 在流形上每一点确定一个切向量、余切向量或者张量 (从相应的空间 中确定), 则形成切向量场、余切向量场或者张量场. 微分几何中切向量场、余切向量场以及张量 场又可统称为向量场. 1.2 一般向量丛及其上的联络 定义 1.1 (向量丛上的联络). 设 ω ∈ C ∞(E) 为流形上的光滑向量场, 定义 ∇Xω : C ∞(TM) × C ∞(E) ∋ {X, ω} 7→ ∇Xω ∈ C ∞(E), 满足: 1. 对 ∀ f, g ∈ C ∞(M), ∀ X,Y ∈ C ∞(TM), 有 ∇fX+gY ω = f∇Xω + g∇Y ω; 2
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 张量场 18… air e de'8…8dr∈C(T“M ②T,M 切向量场 T. M 余切向量场 微分流形M 图1:切向量丛、余切向量丛以及张量丛示意 2.对A1,A2∈R,G,山∈省∞(E),有 Vx(1G+A26)=A1Vxw+A2Vxw 3.对vf∈6∞( ∞(E),有 Vx(fω)=(Vxf)+fVx=X(f)u+∫xu 此处 xf全X(f) 在向量丛上亦可引入曲率张量 定义12(一般向量丛上的曲率张量) R(X,Y) )×6∞(TM)×8(E)3{X,Y,u} →R(X,Y) w=VxVYU- YIXu-Vxy∈(E) 式中,X,Y]为 Poisson括号,定义为 x,)=x(Y))-Y(X() 性质11(一般向量丛上的曲率张量的基本性质).一般向量丛上的曲率张量具有如下基本 性质 1. R(X, Y)w= fR(X, Y)w:
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 ⊗r,sTxαM TxαM T ∗ xαM ⊗r,sTxβM TxβM T ∗ xβM ⊗r,sTxγM TxγM T ∗ xγM 微分流形 M O x 1 α xm α xα O x 1 β xm β xβ O x 1 γ xm γ xγ 张量场 Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∂xi1 ⊗ · · · ⊗ ∂ ∂xir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ∈ C∞(T ∗M) 切向量场 X = X i ∂ ∂xi ∈ C∞(TM) 余切向量场 θ = θidx i ∈ C∞(⊗r,sTM) 图 1: 切向量丛、余切向量丛以及张量丛示意 2. 对 ∀ λ1, λ2 ∈ R, ∀ ω˜ , ωˆ ∈ C ∞(E), 有 ∇X(λ1ω˜ + λ2ωˆ ) = λ1∇Xω˜ + λ2∇Xωˆ ; 3. 对 ∀ f ∈ C ∞(M), ∀ ω ∈ C ∞(E), 有 ∇X(fω) = (∇Xf)ω + f∇Xω = X(f)ω + f∇Xω, 此处 ∇Xf , X(f). 在向量丛上亦可引入曲率张量. 定义 1.2 (一般向量丛上的曲率张量). R(X,Y )ω : C ∞(TM)×C ∞(TM) × C ∞(E) ∋ {X,Y , ω} 7→ R(X,Y )ω , ∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X,Y ]ω ∈ C ∞(E). 式中, [X,Y ] 为 Poisson 括号, 定义为 [X,Y ](f) , X(Y (f)) − Y (X(f)). 性质 1.1 (一般向量丛上的曲率张量的基本性质). 一般向量丛上的曲率张量具有如下基本 性质: 1. R(fX,Y )ω = fR(X,Y )ω; 3
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 R(X, fYw=fR(X,Y) 3. R(X, Y(u)= fR(X, Y)w 证明由于性质中的(1)同(2)的证明类似,此处证明(2).计算 R(X, fYw=VxVfyw-V/YV 以下计算上式右端的各项 VxVyyw=Vx(Vyw)=X()Vyw+ fVx Vru VYVXU=fVYV Lx, /Y]=om, /yy o\2x'8r7(Y)aw"/ruOxi a X(Y+f XOY+f X(Y+fX,Y LX LX 故有 ∫(V VIX, YJw)=fR(X 以下证明(3).计算 R(X, Y)(fw)=VxVy(fw)-VrVx(fw)-VIx, YI(fw) 以下计算上式右端的各项 VxVy(u)=VxY(f)w+fVYw X(Y()w+Y(Vxw+ X()Vyw+fVx Vyw VyVx(f∞)=Y(X(f)+X(f)vyu+Y(f)Vx山+ fYX, fu)=[X, YI()w+f 考虑到 Ix, r()=x(Y())-Y(X() 则有 f(VxV 13切丛上的联络 将上述一般定义应用至切丛,此时 VxY:(TM)×6(TM){X,Y}+VxY∈6(TM), R(X,Y)z:8(TM)×6(M)×6(TM)3{X,Y,}+R(X,Y)z∈6∞(TM)
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 2. R(X, fY )ω = fR(X,Y )ω; 3. R(X,Y )(fω) = fR(X,Y )ω. 证明 由于性质中的 (1) 同 (2) 的证明类似, 此处证明 (2). 计算 R(X, fY )ω , ∇X∇fyω − ∇fY ∇Xω − ∇[X, fY ]ω. 以下计算上式右端的各项: ∇X∇fY ω = ∇X(f∇Y ω) = X(f)∇Y ω + f∇X∇Y ω, ∇fY ∇Xω = f∇Y ∇Xω, [X, fY ] = [ Xi ∂ ∂xi , fY j ∂ ∂xj ] = Xi ∂ ∂xi (fY j ) ∂ ∂xj − fY j ∂Xi ∂xj ∂ ∂xi = X(f)Y + fXi ∂Y j ∂xi ∂ ∂xj − fY j ∂Xi ∂xj ∂ ∂xi = X(f)Y + f [ Xi ∂ ∂xj , Y j ∂ ∂xj ] = X(f)Y + f[X, Y ], ∇[X, fY ]ω = X(f)∇Y ω + f∇[X, Y ]ω, 故有 f(∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X, Y ]ω) = fR(X,Y )ω. 以下证明 (3). 计算 R(X,Y )(fω) , ∇X∇Y (fω) − ∇Y ∇X(fω) − ∇[X, Y ] (fω). 以下计算上式右端的各项: ∇X∇Y (fω) = ∇X [Y (f)ω + f∇Y ω] , = X(Y (f))ω + Y (f)∇Xω + X(f)∇Y ω + f∇X∇Y ω ∇Y ∇X(fω) = Y (X(f))ω + X(f)∇Y ω + Y (f)∇Xω + f∇Y ∇Xω, ∇[X, Y ] (fω) = [X, Y ](f)ω + f∇[X, Y ]ω, 考虑到 [X, Y ](f) = X(Y (f)) − Y (X(f)), 则有 f(∇X∇Y ω − ∇Y ∇Xω − ∇[X, Y ]ω) = fR(X,Y )ω. 1.3 切丛上的联络 将上述一般定义应用至切丛, 此时 ∇XY : C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y } 7→ ∇XY ∈ C ∞(TM), R(X,Y )Z : C ∞(TM) × C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y , Z} 7→ R(X,Y )Z ∈ C ∞(TM). 4
微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 另可再引入挠张量 T(X, Y): 6(TM)x6(TM)2X,Y+T(X,Y)=VxY-VYX-[X,Y ∈6(TM) 现由于联络、曲率张量、挠张量均为切向量,则可引入如下结构: 0 1.aan=1ak∈TM 0a) azxi'axj)ark 00 考虑到对f∈6∞(M),有 0,2a(a)/e ax ax 00 即 0∈6(TM).又考虑到 R(aB)aD品m品-品,品] ars 0Ii-+I下ar° rOs+IiVa、O +5几 即有 aI Fku=一I+a(x)-(x) 再考虑 T/a aev. b2 axt axt=(r azt Ti=Ni-N 可见,由于 Christtoffe号的两个协变指标对称l=l,亦即挠张量为零
微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 另可再引入挠张量 T (X,Y ) : C ∞(TM) × C ∞(TM) ∋ {X,Y } 7→T (X,Y ) , ∇XY − ∇Y X − [X,Y ] ∈ C ∞(TM). 现由于联络、曲率张量、挠张量均为切向量, 则可引入如下结构: 1. ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj =: Γ k ij ∂ ∂xk ∈ TM; 2. R ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ∂ ∂xk =: R s · kij ∂ ∂xs ; 3. T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) =: Γ k ij ∂ ∂xk − Γ k ji ∂ ∂xk . 考虑到对 ∀ f ∈ C ∞(M), 有 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] f , ∂ ∂xi ( ∂ ∂xj ) f − ∂ ∂xj ( ∂ ∂xi ) f = 0, 即 [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = 0 ∈ C ∞(TM). 又考虑到 R ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ∂ ∂xk ,∇ ∂ ∂xi ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xk − ∇ ∂ ∂xj ∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xk − ∇[ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] ∂ ∂xk = ∇ ∂ ∂xi ( Γ s jk ∂ ∂xs ) − ∇ ∂ ∂xj ( Γ s ik ∂ ∂xs ) = ∂Γs jk ∂xi ∂ ∂xs + Γ s jk∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xs − [ ∂Γs ik ∂xj (x) ∂ ∂xs + Γ s ik∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xs ] = [ ∂Γt jk ∂xi (x) + Γ s jkΓ t is − ∂Γt ik ∂xj (x) − Γ s ikΓ t js] ∂ ∂xt , 即有 R t ·kij = Γ s jkΓ t is − Γ s ikΓ t js + ∂Γt jk ∂xi (x) − ∂Γt ik ∂xi (x), 再考虑 T ( ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ) ,∇ ∂ ∂xi ∂ ∂xj − ∇ ∂ ∂xj ∂ ∂xi − [ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj ] = Γ t ij ∂ ∂xt − Γ t ji ∂ ∂xt = ( Γ t ij − Γ t ji) ∂ ∂xt , 可得 T t ij = Γ t ij − Γ t ji. 可见, 由于 Christtoffel 符号的两个协变指标对称 Γ t ij = Γ t ji, 亦即挠张量为零. 5