第二姿线程组 齐次线性方程组解的性质 基础解系及其求法 三应用举例 小结
齐次线性方程组解的性质 1、解向量 设有齐次线性方程组 1x1+a12X2+……+a1nn= a21x1+a2)x2+…+a2nxn=0 (1) amIx,+am2x 2+.+amxn=0 11 12 若记A= 21 22 2n m2 n 则上述方程组(1)可写成向量方程Ax=0
１、解向量 设有齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 若记 （1） 一、齐次线性方程组解的性质 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n m m mn a a a a a a A a a a = = xn x x x 2 1 则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax = 0
若x1 1-9211942 521,…,xn=5n1使得方程x=成立, 则x=5=称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程4x=0的解 nI 2、齐次线性方程组解的性质 (1若51,x2=的Ax的解,则x=41+2 也是Ax的解 (2)若x=的網,为实数,则x=k21 也是x=的解 易知,方程组的全体解向量构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组Ax=0的解空间
1 11 2 21 1 , , , n n 若 x x x = = = 11 21 n1 x = = 称为方程组（1）的解向量， 它也就是向量方程 的解． ２、齐次线性方程组解的性质 （1）若 x x 1 1 2 2 = = , 为 Ax 的解，则 = 0 x = 1 + 2 也是 Ax = 的解 0 . （2）若 x1 1 = 为 Ax 的解， = 0 为实数，则 k x = k 1 也是 Ax = 的解． 0 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间． 易知，方程组的全体解向量构成一个向量空间， 则 使得方程 Ax = 0 成立， Ax = 0
、基础解系及其求法 1、基础解系的定义 方程组Ax=0的解空间中,它的某一个部分组 51,22…,满足: ①5,2,…,线性无关 ②V5,35,5f,52,…5线性相关 则称5152,…,5为齐次线性方程组的一组基础解系 如果5,52,…,5、为齐次线性方程组Ax=0的 基础解系,则方程组Ax=0的通解可表示为: x=k151+k252+…+k 'ssg 其中k1,k2,…,k为任意实数
１、基础解系的定义 二、基础解系及其求法 1 2 , , , s 基础解系，则方程组 Ax = 0 的通解可表示为： 方程组 Ax = 0 的解空间中，它的某一个部分组 ② 线性相关. 1 2 , , , , , s ① 1 2 , , , s 线性无关； 则称 为齐次线性方程组的一组基础解系. 1 2 , , , s 满足： 如果 1 2 , , , s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的 1 1 2 2 , s s x k k k = + + + 其中 为任意实数. 1 2 , , , s k k k
2、线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r,并不妨 设A的左上角r阶子式D≠0,因此,A的前r个行向 量线性无关又任意r+1个行向量线性相关,所以齐 次线性方程组的m-r个方程多余 扣(1)中的前r个方程与(1)同解 所以对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为最简形 e B 即A 00 11~r+1 +b 12~r+2 +∴+b 1, n 所以Ax=0分 (2) +b r1~r+1 r2~r+2 n-rn
２、线性方程组基础解系的求法 设齐次线性方程组的系数矩阵Ａ的秩为ｒ， 量线性无关． D r 0, 因此，Ａ的前ｒ个行向 又任意ｒ+１个行向量线性相关，所以齐 即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解. E B r A O O （２） 并不妨 设Ａ的左上角ｒ阶子式 次线性方程组的ｍ-ｒ个方程多余. 所以对系数矩阵Ａ进行初等行变换，将其化为最简形 1 11 1 12 2 1, 1 1 2 2 , 0 r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x Ax x b x b x b x + + − + + − = + + + = = + + + 所以 即