2二、线性相关性的判断准则 扩A=a1,a2…,a,B=B1,月2,…,B 定理向量组A线性无关分RA)= 定理向量组A线性相关兮R(A)< 推论向量组A中向量的个数r>向量的维数n,则 向量组A线性相关 定理向量组A可由B线性表示,则 ①存在矩阵K,x,3A=B,K,y ②若r>s,则A线性相关 ③A线性无关,则r≤s ④RA)sR(B) ⑤等价向量组必有同秩.(反之则不然)
二、线性相关性的判断准则 定理 向量组Ａ线性相关Ｒ(Ａ)＜ｒ． 定理 向量组Ａ线性无关Ｒ(Ａ)＝ｒ． 1 2 , , , , r if A = 1 2 , , , B = s 向量组Ａ中向量的个数ｒ＞向量的维数ｎ，则 向量组Ａ线性相关. 推论 定理 向量组Ａ可由Ｂ线性表示，则 ② 若ｒ＞ｓ，则Ａ线性相关. ③ Ａ线性无关，则ｒ≤ｓ. ④ Ｒ(Ａ) ≤Ｒ(Ｂ) . ⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然） ① 存在矩阵 , . K A B K s r r s s r =
证①:设x;a1+x2a2+…+x,C1=0 a)5=0.记=0 又A可由B线性表示,则彐K,A=BK Ax=0→BKx=0仅考虑Kx=0 由于r>s,所以K构成的列向量线性相关 故Kx=0有非零解 亦即彐x=(x1x2…x)≠0 所以A线性相关 3x1a1+x2a2+…+xC=0
1 1 2 2 0 r r 证①：设 x x x + + + = ( ) 1 2 1 2 0. r r x x x = 即 记 Ax = 0 又Ａ可由Ｂ线性表示，则 , . = K A BK s r = = Ax BKx 0 0 仅考虑 Kx = 0, 由于ｒ＞ｓ，所以Ｋ构成的列向量线性相关. 故 Kx = 0 有非零解. 亦即 ( 1 2 ) 0 T r = x x x x 1 1 2 2 0 r r + + + = x x x 所以Ａ线性相关