1.2三类数理方程的导出 弦的横振动: 1、物理模型:细长柔软弦,紧绷于A、B 之间,做微小横振动,求运动规律 lC,t) 2、分析: C (1)研究何问题: u(x,t弦位移 取如图所示坐标系 即平衡位置 xx+△x
§1.2 三类数理方程的导出 一、弦的横振动： 1、物理模型：细长柔软弦，紧绷于A、B 之间，做微小横振动，求运动规律 2、分析： T 1 T 2 a 1 a 2 x x + D x (1)研究何问题： 为弦位移， 取如图所示坐标系 即平衡位置 u(x ， t)
2)已知: 线密度p(x,t)=p(t) aCt) 重量不计 C C 张力r(x,1).切线方向 u= 是小量,2=0 dx (3)研究方法: xx+△x 连续介质、微积分思想、任意性
(2)已知： 重量不计 线密度 r ( x, t) = r (t)， 张力T (x, t)为切线方向 , 0 2 = ¶ ¶ x = x u x u u 是小量 T 1 T 2 a 1 a 2 (3)研究方法： x x + D x 连续介质、微积分思想、任意性
3、研究建立方程: (1)任意段△x受力 T x T, sind 单位长度所受外力 yI2 sin a2 (+nx)·Ax(0≤m1≤1)
3、研究建立方程： (1) 任意段Dx受力： î í ì- 2 2 1 1 cos cos a a T T x： ï î ï í ì + D × D £ £ - ) (0 1) sin sin 1 1 2 2 1 1 h h a a xt x T T y （ ： 单位长度所受外力
按照牛顿运动定律: T2 cosa2-T cosa=0, x: T2 sina2-TSina + F(x+yAxt)Ar =n(x+y2△x1)p,Ax2 (3)化简,整理: +△x M, M2- ds=j 1+u.2ax=△x 由胡克定律可得: T(x,D)=(x,p()=p
(2) 按照牛顿运动定律： ï î ï í ì = + D × × D - + + D × D - = u x y x t x T T F x y xt x T T x tt r a a a a ( ) sin sin ( ) cos cos 0 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 ： ⑴ ⑵ (3)化简，整理： M M ds u dx x x x x x x x x = = + = D ò ò +D +D 2 1 2 1 = r = r \ T (x ,t) T(x)， (t) 由胡克定律可得：
又Simr=~lgx 1+tg'x1+u +218001 代入<1>T=T,=T 代入<2> Tlu,(x+Ax, t-u(x, t)]+ F(x+n, Ax, t)Ax =l1(x+12△xD)P△x
x x x u u u tg x tgx x = + = + = 2 2 1 1 又 sin cos 1 1 cos 1 cos 2 1 2 \ x = + ux = 即 x = x = T1 = T2 = T T u x x t u x t F x x t x [ x ( + D 1 ) - x ( ， )]+ ( +h2D 1 )D u x x t x = tt ( +h2D 1 )r ×D 代入<2> 代入<1>