导月 7.空间Mk1y1,1),Nc2y22)两点间的距离公式及中点坐标公 式是什么？ 提示：MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(22-z1)2,设P0,20)是 Xo X1+x2 2 线段MW的中点，则{yo= y1+y2 2 Zo 21+2. 2
导航 7.空间M(x1 ,y1 ,z1 ),N(x2 ,y2 ,z2 )两点间的距离公式及中点坐标公 式是什么? 提示:|MN|= (𝒙𝟐-𝒙𝟏) 𝟐 + (𝒚𝟐-𝒚𝟏) 𝟐 + (𝒛𝟐-𝒛𝟏) 𝟐 ,设 P(x0,y0,z0)是 线段 MN 的中点,则 𝒙𝟎 = 𝒙𝟏 +𝒙𝟐 𝟐 , 𝒚𝟎 = 𝒚𝟏 +𝒚𝟐 𝟐 , 𝒛𝟎 = 𝒛𝟏 +𝒛𝟐 𝟐
导航 8.直线间的关系与它们方向向量有何联系？ 提示：设直线L1,2的方向向量分别是V1V2,则 (1)1IV2台l1I2或l1与2重合. (2)L1与l2的夹角0,0=<y1V2>或0=元-<V1V2>. (3)h11h台<V1V2>=2台V1V2-0. 9.空间中的线面关系、面面关系如何用向量表示？ 提示：(1)若v是直线的一个方向向量，n是平面a的一个法向量 则有vln台lLav⊥n台lIla或lca (2)若n1,n2分别是平面a1,02的一个法向量，则有 n11n2台%1La2n1ln2台a1Ila2或a1与a2重合
导航 8.直线间的关系与它们方向向量有何联系? 提示:设直线l1 ,l2的方向向量分别是v1 ,v2 ,则 (1)v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合. (2)l1与l2的夹角θ,θ=<v1 ,v2>或θ=π-<v1 ,v2>. (3)l1⊥l2⇔<v1 ,v2>= ⇔v1·v2 =0. 9.空间中的线面关系、面面关系如何用向量表示? 提示:(1)若v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量, 则有v∥n⇔l⊥α;v⊥n⇔l∥α或l⊂α. (2)若n1 ,n2分别是平面α1 ,α2的一个法向量,则有 n1⊥n2⇔α1⊥α2 ;n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合. 𝛑 𝟐
导航 10.三垂线定理和它的逆定理是什么？ 提示：定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平 面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直， 逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直， 则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直
导航 10.三垂线定理和它的逆定理是什么? 提示:定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平 面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. 逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直, 则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直
11.如何用向量法求空间角？ 提示：(1)异面直线所成角公式：设a,b分别为异面直线l1,的方 向向量为异西直战所成的角，则cs=Hlos<a.b-兽 (2)线面角公式：设l为平面a的斜线，a为l的方向向量，n为平面a 的法向量，0为1与a所成的角，则sin0=lcos<a,n>Ham an (3)面面角公式：设n1,n2分别为平面a,的法向量，二面角为0，则 0=<1,n2>或0=π-<n1,2(需要根据具体情况判断相等或互补)， 其中cos<n,n22m1m2 n1'n2
导航 11.如何用向量法求空间角? 提示:(1)异面直线所成角公式:设a,b分别为异面直线l1 ,l2的方 向向量,θ为异面直线所成的角,则cos θ=|cos<a,b>| (2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α 的法向量,θ为l与α所成的角,则sin θ=|cos<a,n>| (3)面面角公式:设n1 ,n2分别为平面α,β的法向量,二面角为θ,则 θ=<n1 ,n2>或θ=π-<n1 ,n2>(需要根据具体情况判断相等或互补), 其中cos<n1 ,n2>= = |𝒂·𝒃| |𝒂||𝒃| . = |𝒂·𝒏| |𝒂||𝒏| . 𝒏𝟏 ·𝒏𝟐 |𝒏𝟏||𝒏𝟐|
导 12.怎样用向量法求空间中的距离？ 提示：(1)点面距离：若A是平面a外一点，B是平面a内一点，n 是平面口的一个法向量则点A到平面a的距离为B (2)线面距离：如果直线1与平面a平行，n是平面a的一个法向 量，A,B分别是l上和a内的点，则直线1与平面a之间的距离 为BAm
导航 12 .怎样用向量法求空间中的距离 ? 提示:(1)点面距离:若 A 是平面 α 外一点,B 是平面 α 内一点,n 是平面 α 的一个法向量,则点 A 到平面 α 的距离为 d=|𝑩 𝑨 ·𝒏| |𝒏| . (2)线面距离:如果直线 l与平面 α 平行,n 是平面 α 的一个法向 量,A,B 分别是 l 上和 α 内的点,则直线 l 与平面 α 之间的距离 为 d=|𝑩 𝑨 ·𝒏| |𝒏|