22 第15章坐标几何 a<b 图15.8 个固定点S,S2的距离r1,T的乘积等于常数2，b是正常数. 设S1与S2间的距离是2a,如果b>a,就得到一个没有自交点的 卵形线.如果b=a,就得到James Bernoulli所引进的双纽线. 如果b<a,卵形线就分为两个.Cassini卵形线的直角坐标方程 是四次的.Descartes自己引进了对数螺线ao,它的极坐标方程 是P=a°，并且发现了它的许多性质.还有其他曲线，包括悬链线 和旋轮线，将在别处谈到. 把坐标几何推广到三维空 间，是在十七世纪中叶开始的.在 r,头，)《几何的第二卷中，Descartes指 出，容易使他的想法运用到所有 这样的曲线，即可以看作是一个 点在三维空间中作规则运动时所 产生的曲线.要把这种曲线用代 数表示出来，Descartes的计划 图15.9 是：从曲线的每个点处作线段垂 直于两个互相垂直的平面（图16.9）.这些线段的端点将分别在这 两个平面上描出两条曲线，而这两条平面曲线就可用已知的方法 处理.在第二卷的靠前一部分里，Descartes指出，一个含有三个 (10)1638年9月12日给Mren9的信-uwre3,2,360
6.坐标几何的重要性 23Ⅱ 未知数一一这三个数定出轨迹上的一点0一的方程所代表的O 的轨迹是一个平面，一个球面，或一个更复杂的曲面、他显然体会 到他的方法可能推广到三维空间中的曲线和曲面，可是他没有选 一步去考虑这种推广 Fermat在1643年的一封信里，简短地描述了他的关于三细 解析几何的思想.他谈到柱面，椭圆抛物面，双叶双曲面和椭球 面.然后他说，作为平面曲线论的顶峰，应该研究曲面上的曲线。 “这个理论，有可能用一个普遍的方法来处理，我有空闲时将说明 这个方法.”在一篇只有半页长的文章 (Nows Secundarum))里，他说，含有 三个未知数的方程表示一个曲面 La Hire在他的《圆锥截线新论》 》 (Nouveaux demens des secticns coni- gue,1679)里，对三维坐标几何作了 较为特殊的讨论.为了表示曲面，他 图15.0 先用三个坐标表示空间中的点P(图15.10)，然后实际写出了曲 面的方程.尽管如此，三维坐标几何的发展，是十八世纪里的事， 我们以后将讨论到. 6。坐标几何的重要性 在Fermat!Descartes走上数学舞台之前，代数已有相当六 的进展，鉴于这个事实，坐标几何不是一个巨大的技术成就.对 Fermat来说，它是Apollonius工作的代数翻版.对于Descarte 来说，它几乎是一个偶然的发现，这个发现，是他继续Vieta和其 他人的工作，利用代数来解决确定的几何作图问题时得到的、然 而坐标儿何却改变了数学的面貌。 (03,Et,1,18e~187;3,161~162
Ⅱ24 第15章坐标几何 Descartes辩论说，曲线是任何具有代数方程的轨迹.他这话 一下子就扩大了数学的领域.我们只要考虑到在数学中已经被承 认被使用的曲线种类，并且把这些种类同希腊人所承认的曲线种 类相比较，就知道冲破希腊人的堤防是如何重要的了. Descartes企图通过坐标几何来给几何引进新方法.他的成 就远远超过他的期望.在代数的帮助下，不但能够迅速地证明关 于曲线的任何事实，而且这个探索问题的方式，儿乎成为自动的， 这些认识，在今天已经是平淡无奇的事了.这套研究方法甚至是 更为有力的.当Wallis和Newton开始用字母代表正数、负数甚 至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情 形，用代数来统一处理.例如，在综合几何中证明三角形的高交于 一点时，必须分别考虑交点是在三角形内和三角形外，而用坐标几 何来证，则不加区别. 坐标几何把数学造成一个双面的工具.几何概念可用代数表 示，几何的目标，可通过代数达到.反过来，给代数语言以几何的 解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出 新的结论.Lagrange曾把这些优点写进他的x数学概要》(Le:om3 lementaires sur les mathimatiques)a2)中：“只要代数同儿何分道 扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄.但是当这两门科学 结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速 的步伐走向完善.”的确，十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程 度上应归功于坐标几何. 坐标几何的显著优点，在于它恰好提供了科学久已迫切需要 的，而且在十七世纪一直公开要求着的数学设备.这设备就是数 量的工具.研究物理世界，似乎首先需要几何.物体基本上是儿 何的形象，运动物体的路线是曲线.Descartes自己确也认为全部 物理都可归结到儿何.但是，我们已经指出，把科学应用到短程测 (12)Euvres,7,183~287,p.271 in part
6.坐标几何的重要性 25Ⅱ 地学，航海学，日历计算，天文预测，抛射体的运动，以及Descartes 曾经搞过的透镜设计时，都需要数量知识，坐标几何使人能把形 象和路线表为代数的形式，从而导出数量知识 因此，代数变得比几何更为重要，虽然Descartes认为它只是 一种工具，又认为与其说它是数学的一部分，还不如说它是逻辑的 一个推广.事实上，坐标几何为倒换代数和几何的作用铺平了道 路.从希腊时代到1600年，几何统治着数学，代数居于附庸的地 位.1600年以后，代数成为基本的数学部门.在这作用的交替中 微积分将是决定的因素.不过，代数的升级，加重了我们已经指出 过的困难，即算术和代数没有逻辑基础，这个困难直到十九世纪晚 期，还没有解决的办法. 代数建立在经验的基础上这一事实，引起了数学名词的混乱. Fermat和Descartes所创立的科目，通常叫做“解析儿何”.“解 析”一词用在这里是不恰当的，叫坐标几何或代数几何较好（代数 几何现在有另外的意义).自Plato以后，“解析”一词指的是这样 的过程：从所要证明的结论开始，往回做去，直至达到一些已知的 东西为止.“解析”在这个意义下与“综合”相反，后者系指演绎的 表述而言.约在1590年，Vieta认为algebra(代数)一字在欧洲语 言中没有意义，屏去不用，而建议用analysis(解析)字样（第13章 第8节)，他的建议没有被采用.但对Vieta和Descartes来说， 用“解析”一词来描写把代数应用到几何上还是恰当的，因为他们 是用代数来公析几何作图问题的.他们假定要求的几何长度已经 知道，找出这长度所满足的方程，并调整这方程，使得从中能看出 怎样去画出所求的长度.因此Jacques0 zanam(1640~1717)在 他的《字典》(Dictionary,1690)中说，近代人用代数来进行分析. 在十八世纪著名的&百科全书》(Encyclopedie)中，d'Alembert把 “代数”和“解析”当作同义词用.“解析”一词逐渐地变为专指代数 方法而言，而新的坐标几何，大约直到十八世纪末，在形式上儿乎
128 第15章坐标几何 一律被描写成代数在几何上的应用.但是，到了十八世纪末年， “解析儿何”已经成为标准的名词，常常用作书的名字。 在代数变成一个突出的科目时，数学家就认为它的作用远远 大于希腊人所理解的“对问题作分析”.在十八世纪中，这样的看 法一应用到几何上的代数，不象Descartes所说的只是一种工 具，而是象Fermat所说的，它本身就是一个引进并研究曲线和曲 面的基本方法-一通过Euler,.Lagrange和Monge的工作而得到 胜利.据此，“解析儿何”一词含有证明和使用代数方法的意思，因 而我们现在把解析几何和综合几何相提并论，不再认为一个是发 明的手段，而另一个是证明的方法了，两者都是演绎的. 与此同时，微积分和无穷级数进入了数学.Newton和Leibniz 都认为微积分是代数的扩展；它是“无穷”的代数，或者是具有无穷 多个项的代数，例如无穷级数.就在1797年这样近的年代里， Lagrange在他的&解析函数论》(Thebrie des fonctions analytiques) 中说，微积分及其以后的发展只是初等代数的一个推广，因为代 数和解析是同义词，所以微积分也叫做解析.Eūler于1748年在 一本著名的微积分教科书中，用“无穷小量解析”一词来描写微积 分.这个名字直到十九世纪晚期还在使用；当时解析一词是用共 描写微积分和建筑在微积分上的那些分支的.这样就给我们遗留 下来一个混乱的情况.“analysis”包括所有建立在极限过程上的数 学，而“analytic geometry”则与极限过程无关. 参考书目 Boyer,Carl B.:History of Analytic Geometry,Seripta Mathematica,1956. Cantor,Moritz:Vorlesungen iber Geschichte der Mathemaiil,2nd ei.,B.G. Teubner,1900,JTohnson Reprint Corp.,1965,Vol.2,pp.806~876. Chasl,Michel:Aperou hietrieu Vorigine et Te devdoppement des goometrie,3rd ed.,Gauthier-Villars et Fils,1889,Chaps.2~3 and rolevant notes