4.Decartes在坐标几何方面的工作 17Ⅱ 方法大不相同.Descartes批评了希腊的传统，而且主张同这传统 决裂；Fermat则着眼于继承希腊人的思想，认为他自己的工作只 是重新表述了Apollonius的工作.真正的发现一一代数方法的 威力一是属于Descartes的；他知道他是在改换古代方法.虽然 用方程表示曲线的思想在Fermat的工作中比在Descartes的工 作中更为明显，但Fermat的工作主要是这样一个技术的成就：它 完成了Apollonius的工作，并且利用了Vieta用字母代表数类的 思想.Descartes的方法是可以普遍使用的，而且就潜力而论也适 用于超越曲线. 尽管Descartes和Fermat研究坐标几何的方式和目的有显 著的不同，他们却卷入谁先发现的争论.Fermat的著作直到1679 年才出版，但他在1629年已发现了坐标几何的基本原理，这比 Descartes发表《儿何》的年代1637年还早.Descartes当时已完全 知道Fermat的许多发现，但否认他的思想是从Fermat来的.荷 兰数学家Isaac Beeckman(1588~1637)把Descartes的坐标几何 思想回湖到1619年，而且坐标几何中的许多基本思想，无疑是 Descartes首创的. 当《几何》出版的时候，Fermat批评说，书中删去了极大值和 极小值，曲线的切线，以及立体轨迹的作图法.他认为这些是值得 所有几何学家注意的.Descartes回答说，Fermat儿乎没有做什 么，至多做出一些不费气力不需要预备知识就能得到的东西，而他 自己却在《几何》的第三卷中，用了关于方程性质的全部知识.他 讽刺地称呼Fermat为我们的极大和极小大臣，并且说Fermat欠 了他的债.Roberval,,Pascal和其他一些人站在Fermat一边， 而Mydorge和Desargues站在Descartes一边.Fermat的朋友 们给Descartes写了尖刻的信.后来这两人的态度趋于缓和.在 l660年的一篇文章里，Fermat虽然指出《几何》中的一个错误， 但他宣称他是如此佩服Descartes的天才，即使Descartes有误
Ⅱ18 第15章坐标几何 他的工作甚至比别人没有错误的工作更有价值.Descartes却不 象Fermat那样宽厚】 后代人对待&几何》并不象Descartes那样重视.虽然对数学的 前途来说，方程和曲线的结合是一个显著的思想，但对Dosoartos 来说，这个思想只是为了达到目的—一解决作图问题—一的一个 手段 Fermat强调轨迹的方程，从近代观点来看，是更为恰当的. Descartos在卷一和卷三中所着重的几何作图问题，已渐失去重要 性，这主要是因为不再象希腊人那样，用作图来证明存在了， 第三卷中也有一部分是在数学里占永久地位的.Descartes解 决几何作图问题时，首先把问题用代数表出，接着就解出所得到的 代数方程，最后按解的要求来作图.在这个过程中，Descartes收 集了自己的和别人的有助于求解的方程论工作.因为代数方程不 断地出现在成百的、与作图问题无关的不同场合中，所以这个方程 论已经成为初等代数的基础部分. 5.坐标几何在十七世纪中的扩展 有种种原因，使坐标几何的主要思想一用代数方程表示并 研究曲线一没有被数学家热情地接受并利用.Fermat的《轨 迹引论》虽然在他的朋友中得到传播，但迟至1679年才出版， Descartes对于几何作图问题的强调，遮蔽了方程和曲线的主要思 想.事实上，许多和他同时代的人认为坐标几何主要是解决作图 问题的工具，甚至Leibniz也说Descartes的工作是退回到古代. Descartes本人确实知道他的贡献远远不限于提供一个解决作图 问题的新方法.他在《几何》的引言中说：“此外，我在第二卷中所 作的关于曲线性质的讨论，以及考查这些性质的方法，据我看，远 远超出了普通几何的论述，正如Cicero的词令远远超过儿童的简
5.坐标几何在十七世纪中的扩展 19r 单语言一样.”但是，他利用曲线方程之处，例如，解决Pappus问 题，求曲线的法线，找出卵形线的性质等，大大地被他的作图问题 所遮盖.坐标儿何传播速度缓慢的另一原因，是Descartes坚持要 把他的书写得使人难懂 还有一个原因，是许多数学家反对把代数和几何混淆起来，或 者把算术和几何混淆起来.早在十六世纪当代数正在兴起的时 候，已经有过这种反对的意见了.例如，Tartaglia坚持要区别数 的运算和希腊人对于几何物体的运算.他谴责《几何原本》的译者 不加区别地使用multiplicare(乘)和ducere(倍)两字.他说，前一 字是属于数的，后一字是属于几何量的.Vi©ta也认为数的科学 和几何量的科学是平行的，但是有区别.甚至Newton也如此，他 虽然对坐标几何有贡献，而且在微积分里使用了它，但反对把代数 和几何混淆起来，他在《普遍的算术》中说⑧》： 方程是算术计算的表达式，它在儿何里，除了表示真正几 何量（线，面，立体，比例）间的相等关系以外，是没有地位 的.近来把乘、除和同类的计算法引入儿何，是轻率的同 且是违反这一科学的基本原则的…，因此这两门科学 不容混淆，近代人混淆了它们，就失去了简单性，而这个 简单性正是几何的一切优点所在. 对于Newtor如的立场的一个合理解释是：他想把代数排斥到初等 几何之外，但他也确实知道，代数在处理圆锥截线和高次曲线时是 有用的. 使坐标几何迟迟才被接受的又一原因，是代数被认为缺乏严 密性.我们已经谈到（第13章第2节），Barrow不愿承认：无理 数除了作为表示连续几何量的一个符号外，还有别的意义.算术 和代数从几何得到逻辑的核实，因而代数不能替代几何，或与几何 (8)Arithmetica Universalis,1707,p.282
IⅡ20 第15章坐标几何 并列.哲学家Thomas Hobbes(15S8~1679)虽然在数学里是个小 人物，但当他反对“把代数应用到几何的一整批人”时，却代表许多 数学家发了言，说这批数学家错误地把符号当做儿何.他又认为 John Wallis论圆锥曲线的书是卑鄙的，是“符号的结痂” 上述种种，虽然阻碍了对Descartes和Fermat的贡献的了 解，但也有很多人逐渐采用并且扩展了坐标几何.第一个任务是 解释Descartes的思想.Frans van Schooten(1615~1660)将《几 何》译成拉丁文，于1649年出版，并再版了若千次，这本书不但在 文字上便于所有的学者（因为他们都能读拉丁文），而且添了一篇 评论，对Descartes的紧致陈述加以阐发.在1659~1661年的版本 中，van Schooten居然给出坐标变换一从一条基线(x轴)到另 一条基线一一的代数式.他如此深切地感到Descartes方法的力 量，以至宣称希腊人就是用这个方法导出他们的结果的、照vn Schooten的说法，希腊人是先由代数工作看出怎样去综合地得出 结果一van Schooten说明如何做到这一步一然后发表那些 没有代数方法显明的综合方法来惊世骇俗.van Schooten可能误 解了“分析”（这个词按希腊人的意思是分析某个问题）和“解析儿 何”（这个词特别描写Descartes把代数当作方法使用）的意义. John Wallis在x论圆锥曲线》(De Sectionibus Conicis,165) 中，第一次得到圆锥曲线的方程.他是为了阐明Apollonius的结 果，把Apollonius的几何条件翻译成代数条件（就象我们在第4 章第12节所做的)，从而得到这些方程的.他于是把圆锥曲线定 义为对应于含x和y的二次方程的曲线，并证明这些曲线确实就 是儿何里的圆锥曲线.他很可能是第一个用方程来推导圆锥截线 的性质的人.他的书大大有助于传播坐标几何的思想，又有助于 普及这样的处理法：把圆锥截线看作平面曲线，而不看作是圆锥 与平面的交线，虽然这后一种看法仍继续流传着.此外，Wallis 强调代数推理是有效的，而De9 cartes至少在他的《几何》中实际上
5,坐标几何在十七世纪中的扩展 21I1 依靠儿何，认为代数只是一种工具.Wallis又是第一个有意识地 引进负的纵横坐标的人.略晚一些，Newton也这样做，可能是从 Wallis那里学来的.我们可以比较van Schooten和Wallis的说 法，Wallis说，Archimedes和儿乎所有的古代人把他们的探索和 分析问题的方法对后辈如此保密，使近代人觉得发明一种新的分 析法比寻找旧的还要容易些。 Newton的《流数法与无穷级数》(The Method of Flxions and Infinite Series),大约于1671年写成，但第一次出版的，却是 John Colson(死于1760年)的英译本，出版于1736年.此书包 括坐标几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创见之一，是 引进新的坐标系.十七，甚至十八世纪的人，一般只用一根坐标轴 (c轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的.Newton 所引进的坐标系之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作 标准，略如我们现在的极坐标系.书中还包括其他与极坐标有关 的思想.Newton又引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它至 两个固定点的距离（图15.7）.由于Newton的这个工作直到 1736年才为世所知，而James(Jakob)Bernoulli于1691年在k教 师学报》(Acta Eruditorum)上发表了一篇基本上是关于极坐标的 文章，所以通常认为James Bernoulli是极 坐标的发现者、 后来又出现了许多新的曲线和它们 的方程.1694年，Bernoulli引进了双纽 图15.7 线，这个线在十八世纪起了相当大的作用.这条曲线是一大族 叫做Cassini卵形线的一个特例.这族曲线是Jean-Dominique Cassini(1625~1712)引进的，但迟至1740年才由他的儿子 Jacques(1677~1756)发表在x天文学初步》(Elements d'astrono- me)里.C2 ssini卵形线（图15.8）的定义是：线上的任何点到两 (9)Acta Erud.,Sept.1694=Opera,2,608~612