第四册目录 第40章分折中注入严密性… 1.引言…1 2.函数及其性质3 3.导数…10 4.积分…3 5,无穷级数 .19 6.Fourie论r级数…25 7.分析的状况…32 第41章实数和超限数的基础……41 1,写引言…41 2。代数数与超越数…43 3。无理数的理论……45 4,有理数的理论… …51 5,实数系的其它处理… .54 6,无穷集合的概念…57 7,集合论的基础59 8.超限基数与超限序数…65 9.集合论在1900年代的状况70 第织章几何基础…74 1,Euclid中的缺陷74 2.对射影几何学基础的贡献……77 ,3.uclid几何的基础… …80 4。一些有关的基础工作……8G 5。一些未解决的问题… 88 第43章十九世纪的数学95 1.十九世纪发展的主要特征…95 2。公理化运动…99
女 3.作为人的创造物的数学…101 4,真理的丧失… …106 5.作为研究任意结构的数学 …112 6.相容性问题…115 7.向前的一瞥…116 第4章实变函数论…118 1.起源… …118 2.Stieltjes积分 0…119 3.有关容量和测度的早期工作…120 4.Lebesgue积分 …123 5.推…131 第仍章积分方程… …133 1。引言… …133 2。一般理论的开始…138 3.Hilbert的工作… …143 4.Hilbert的直接继承者 …153 5.理论的推广 …157 第6章泛函分折…160 1.泛函分析的性质 … …160 2。泛函的理论……161 3。线性泛函分析… …167 4.Hilbert空间的公理化…179 第47章发散级数…184 1.引言…184 2.发散级数的非正式应用 …186 3。渐近级数的正式理论…。 …193 4,可和性…200 第8章张量分析和微分几何 ……214 1.张量分析的起源…214 2。张量的概念…215 3.协变微分 .220 4。平行位移… …223 5.Riemann几何的推广… …227
、目录 第49章抽象代数的出现 …231 1.十九世纪历史背景 …231 2.抽象群论……232 3。域的抽象理论…243 4.环…249 5非结合代数…253 6.抽象代数的范围 …256 第60章拓扑的开始 …260 1.拓扑是什么…260 2.点集拓扑…261 3.组合拓扑的开始……266 4.Poincar6在组合拓扑方面的工作…274 5,组合不变量…282 6.不动点定理…283 7.定理的推广和领城的扩展.…285 第61章数学基础…289 1.引言…289 2.集合论的悖论…290 3.集合论的公理化 …293 4.数理逻辑的兴起…295 5.逻辑派… …301 6。直观派… …307 7.形式派…316 8.一些新近的发展 322 杂志名称缩写一览表…。 .327 人名索引 .3303 内容索引少… .000
40 分析中注入严密性 如果认为只有在几何证明里成者在感觉的证据里才有必 然，那会是一个严重的错误。 A.L.Cauchy 1.引言 、大约在1800年前后，数学家们开始关心分析的庞大分支在概 念和证明中的不严密性.函数概念本身就是不清楚的；使用级数 而不考虑它们的收敛和发散已经产生了悖论和不同意见的争论： 关于用三角级数来表示函数的论战进一步引起了混乱；当然，导数 和积分的基本概念还从来没有恰当地定义过.所有这些困难最终 导致人们对分析的逻辑状况的不满. Abol在1826年给Christoffer丑ansteen教授的一封信中 抱怨说：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处.这样一 个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究过它，真是奇 怪.最坏的是，从来没有严格地对待过分析.在高等分析中只有 很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的.人们到处发现 这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方 法只导致了极少几个所谓的悖论.” 一些数学家决心从这种混沌中整理出一个秩序来。常被人们 称为批判运动的领导者们决心把分析只在算术概念的基础上重新 (1)Euwres,2,263~265
IV 2 第40章分析中注入严密性 建立起来.这个运动的开端正好是非欧几何的创立时期.一个完 全不同的集体，除了Gauss外卷入了这后一活动，因而要追溯这个 活动和把分析奠定在算术基础上的决心之间的任何直接联系是困 难的、这种决心的出现大概是由于企图把分析奠基于几何之上的 希望一十七世纪的许多数学家断言这种希望是能够实现的 因十八世纪分析发展中日益增长的复杂性而受到破灭所致.不过、 Gauss早在1799年就已表示了他对欧氏几何真理性的怀疑，而且 在1817年他就认定真理只存在于算术之中.此外，甚至在Gauss 和其他作者关于非欧儿何的早期著作中就注意到欧氏几何发展中 的缺陷.因此很可能就是这两个因素造成了对几何的不信任而决 心把分析奠基在算术概念之上，这无疑是批判运动的领导者们要 着手去作的事。 严密的分析是从Bolzano、Cauohy、Abel和Dirichlet的工 作开始，而由Weierstrass进一步发展了的.在这方面，Cauchy和 Weierstrass最为著名.Cauchy关于分析基础的基本著作是他的 《代数分析教程》(Cour8 d analyse al gebrig)),《无穷小分析教程 概论》(Resume des lecons sur le cateul in fimitesimal)3,以及《微分 计算教程》(Legons sur le calcil d吃ferentiel).④实际上，用现代的 标准来衡量，Cauchy著作中的严密性是不够的.他用了诸如“无 限趋近”，“想要多小就多小”，“无穷小增量的最后比”以及“一个变 量趋于它的极限”之类的话.可是，如果人们把Lagrange的<解析 函数论》（Theorie des fonctions analytig2ues)⑤和《函数计算教程》 (Legonsle calol des fonctions)@以及Laoroix的有影响的书 k微积分计算专著》(Traite du caloil diffirentiel ot du caloul (②)1821，Eure8,(2),工. (③)1823，Eure,(2),IV,1~261. (4)1829,ures,(②)，V,265~572. (⑤1797；2aded,1813-Ewre8,9. (6)1801;2nded.,1806=Eres,10