1Ⅱ12 第15章坐标几何 线，以点A为原点.心值是基线上的长度，从A量起；y值是一个 线段的长度，由基线出发，与基线作成一个固定的角度.这个坐标 系，我们现在叫做倾斜坐标系.Descartes的x,y只取正值，他的 图局限在第一象限之内，但方程（②）所代表的曲线却无此限制. Descartes简单地假定轨迹根本上位于第一象限之内；只附带地说 了一下在第一象限外可能出现的情况，他又不自觉地假定了对于 每个正实数有一个长度. 有了曲线方程的思想之后，Descartes就进一步发展这个思 想，他断言，容易证明曲线的次与坐标轴的选择无关.他指出这个 轴要选得使最后得到的方程愈简愈好.他又迈出另外一大步，这就 是考虑两个不同的曲线，用同一坐标轴来写出它们的方程，并且联 立地解出这两个方程来求出这两条曲线的交点. 也是在第二卷里，Descartes批判地考虑了希腊人关于平面曲 线、立体曲线和线性曲线的区别.希腊人说，平面曲线是可以用圆 规和直尺画出的曲线，立体曲线是圆锥曲线，其余的都是线性曲 线，例如蚌线，螺线，割圆曲线和蔓叶线.希腊人也把线性曲线叫做 机械曲线，因为需要用某些特殊机械来画出它们.但是Descartes 说，就是直线和圆，也需要一些工具.机械作图的准确性是无关紧 要的，因为在数学上只有推理才算数.他继续说，古人反对线性曲 线可能是因为它们的定义不可靠.本此理由，Descartes排斥了这 种思想：只有用直尺和圆规画出的曲线是合法的).他甚至提出 一些用机械画出的新的曲线.他用一句高度有意义的话来作结 论：几何曲线是那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程 来表出的曲线.因此，Descartes承认蚌线和蔓叶线是几何曲线，其 他如螺线和割圆曲线等，他都叫做机械曲线 Descartes坚持：可以认为是曲线的，是具有代数方程的那一 种.这就开始取消了曲线是否存在看它是否可以画出这个判别标 (6)比较第8章第2节中的讨论
4,Descartes在坐标几何方面的工作 131 准.Leibniz比Descartes更进一步，用“代数的”和超越的”字样 来替代Descartes的词“几何的”和“机械的”，他对曲线必须有代数 方程这一要求提出抗议).实际上Descartes和他的同时代人都 忽略了这个要求而以同样的热情去研究旋轮线、对数曲线、对数螺 线(logp=a8)和其他非代数曲线， 在推广容许曲线的概念方面，Descartes迈出了一大步.他不 但接纳以前被排斥的曲线，而且开胖了整个的曲线领域。因为给 定任何一个含：和y的代数方程，人们可以求出它的曲线，从而得 到一些全新的曲线.在&普遍的算术》(Arithmetica Universalis) 一书中，Newton说(1707)，“但是近代人走得更远[比起希腊人 的平面、立体和线性的轨迹来]，把所有可以用方程表示的线都接 收到几何里.” Descartes下一步考虑几何曲线的分类.含x和y的一次和二 次曲线，属于第一类，即最简单的类.关于这一点，Descartes说， 圆锥曲线的方程是二次的，但他没有证明.三次和四次方程的曲 线，构成第二类.五次和六次方程的曲线构成第三类，余类推.他 把三次和四次的曲线归为一类，五次和六次的归为一类，是因为他 相信，在每一类中，高次的那一个可以化为低次的，正如四次方程 的解可以通过三次方程的解来求出.当然，他这个信念是不对的. 《几何》的第三卷，又回到第一卷的课题.它的目的是要解决这 样的几何作图问题：当用代数语言叙述时，它们引到三次和高次 的方程，而且依照代数，它们需要圆锥曲线和高次曲线.例如， Desca1tes考虑了求两个已知量a和g的两个比例中项这一作图 问题，对于q=2a的特殊情形，古希腊人曾经尝试过许多次，这 一情形的重要处，在于它是解决“双倍立方”问题的一种方式。 Descartes对此问题是这样进行的：设z是一个比例中项，则另一 (⑦)4 cta Frud.,1684,pp.470,587;1686,p.292=Math.Schriften,,127,223, 226
Ⅱ14 第15章坐标几何 个必定是/a,因为 2/a 因此，如果取/a2为9，就得到z必须满足的方程.由此可见，给 定g和a之后，我们必须求？使 (3) -a2q. 这就是说，必须解一个三次方程.这时，Descartes就证明，z和 /a可以借助一条抛物线和一个圆，用几何作图法求出. 从Descartes所描写的这个作图法上看，似乎没有牵涉到坐标 几何.但是，抛物线是不能用直尺和圆规画出的（除非逐点去画）， 所以必须按方程把它准确地描出. Descartes得到名，并不是由于联立地解抛物线和圆的方程而 求出它们的交点（红，y)换句话说，他并不是在我们现在的意义 下来图解方程.他所用的是纯粹的几何作图法（但假定抛物线是 可画的)和2满足方程(3)的事实，以及圆和抛物线的儿何性质（这 些性质可以更容易地从这两个曲线的方程看出).Descartes在这 里做的和他在第一卷里做的完全一样，只不过在这里解决的几何 作图问题中，其未知长度所满足的方程是三次或高次的，而不是一 次或二次的.他所给出的关于问题的纯代数方面的解，以及随之 而来的作图法，实际上和阿拉伯人所给出的一样，只不过他能够利 用圆锥截线的方程来推导关于曲线的事实并且把它画出. Descartes不但立意说明某些立体问题怎样可以在代数和圆 锥曲线的帮助下得到解决，而且注意于问题的分类，使人从中知道 问题牵涉到什么以及怎样进行解决。他的分类法根据于作图问题 所引出的代数方程的次.如果方程是一次的或二次的，就可用直 线和圆把图作出.如果方程是三次或四次的，那就非用圆锥曲线 不可.他无意中断言：所有三次的问题都可化为三等分角和双倍 立方的问题，而且不用比圆更为复杂的曲线，三次问题是不能解决
4.Descartee在坐标几何方面的工作 15 II 的.如果方程的次高于四，作图时就需要用比圆锥曲线更为复杂 的曲线 Descartes又强调曲线方程的 次是衡量曲线繁简的标准。作图时 应该用最简单的曲线（即最低次的 方程).他把曲线的次强调到这个 程度，以至认为象Descartes叶线 x3+-3ay=0(图15.4)这样复 杂的曲线，比曲线y=心还要简单. 图15.4 Descartes把代数提高到重要地位，其意义远远超过他对作图 问题的洞察和分类.这个关键思想使人们能够认识典型的几何问 题并且能够把在几何形式上互不相关的问题归在一起.代数给几 何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次.不仅可解性问题 和作图可能性问题，能够从平行于几何的代数来漂亮地迅速地完 全地决定，而且离开代数，决定就成为不可能的了.因此，体系和 结构就从几何转移到代数. 在&几何》第二卷的一部分和《折光》里，Descartes用坐标几何 作为助力，从事于光学的研究.他对望远镜、显微镜以及其他光学 仪器中透镜的设计非常关心，因为他体会到这些仪器对于天文学 和生物学是重要的.他在《折光》里讨论了折射现象.在他之前， Kepler和Alhazen已经注意到下述说法对大的角度是不正确的： 折射角和入射角成比例，其比例常数依赖于引起折射的介质.但 他两人没有发现正确的定律.S如el1在1626年之前发现了（但未 发表)正确的定律 盘-g 其中1是光在第一介质中的速度，"2是光进入第二介质后的速度 (图15.5).Descarte9于1637年在他的<折光》里给出同样的定
笃15章坐标儿竹 律，他是不是独立地发现了这个定律，至今还没有考查清楚.关于 这个定律，他所给出的证明是错误的.Fermat立即对定律及其证 明进行攻击.这就引起了他两人之间长达 十年之久的争论.Fermat一直到他从他 的“最短时间原理”（第24章第3节）导出 此定律后，才承认它是正确的. Descartes在&k折光》里描述了眼的动 图15.5 作之后，进面考虑怎祥去恰当地设计望远 镜、显微镜和跟镜的聚焦透镜.早在古代就知道球形透镜不能使 平行光线或从光源S发出的光线聚焦于一点，因此什么形状的透 镜能起这样的聚焦作用，还是一个没有解决的问题.Kepler建议 用某种圆锥截线，Descartes试图设计一个能完金聚焦的透镜. 他成功地解决了这个一般性问题：什么样的曲面作为两种介 质的交界面时，能使从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上， 折入第二种介质而聚于一点.他发现：具有这个性质的旋转面是 由一个卵形线（叫做Descartes卵形线）产生的.他在《折光》里讨 论这个曲线和它的折光性质，并且在 《儿何》的第二卷里作了补充 这条曲线的近代定义是满足条件 FM±nFM=2a 的点M的轨迹，其中F和F是固定 点，2a是大于FF'的任意实数，m是 任意实数.如果%=1，曲线就成了椭 图15.6 圆.在一般情形下，卵形线的方程对c和y是四次的，这个曲线包 括两个没有共同点的闭线，而且一个在另一个之内.在内的那个， 类似于椭圆，在外的那个可能是凸的，也可能有拐点，如图15.6所 示 我们现在能够看到，Descartes和Fermat研究坐标几何的