8.Ren6 Descartes 7Ⅱ 中的问题.虽然这个大胆的计划并未成功，但他确实对于哲学、科 学和数学，做出了可观的贡献，心的直观力量（即对于基本的、清楚 的、明显的真理的直接了解)和演绎推理，是他的知识哲学的要素. 用别的方法得来的所谓知识，由于有错误的嫌疑和危险性，都应该 摒弃. 他在《方法论》中所写的三个附录，就是为了证明他的方法是 有效的，他相信他已经证明了. Descartes创立了近代哲学.我们不能详细叙述他的系统，只 能注意其中与数学有关的几点。在哲学中，他找出了一些明白到 他可以立刻接受的真理作为公理，最后他定出四条：()我想，所 以我在(b)每一现象必有原因；(o)效果不能大于它的原因：(@) 心中本来就有完美、空间、时间和运动的观念.根据（©），完美的 观念（即“完美的东西”的观念）不能从人的不完美的心中推导或创 造出来，它只能从一个完美的东西得到.因此，上帝存在.因为上帝 不欺骗我们，所以我们就能保证：在直观上很明白的数学公理，以 及通过纯粹的思想程序从这些公理得出来的推论，确实可应用于 物理世界，因而它们都是真理.由此可见，上帝一定是按照数学定 律来建立自然界的。 对于数学本身，他相信他有明白而清楚的数学概念，例如三角 形的概念.这些概念确实存在，而且是永恒的、不变的，它们的存 在，不依赖于人是否正想着它们.因此，数学是永恒地客观地存在 着的. Descartes的第二个主要兴趣，是大多数和他同时代的思想家 所共有的，这就是对自然界的了解.他用了许多年的时间在科学问 题上，甚至广泛地做了力学、水静力学、光学和生物学方面的实验 他的漩涡祸理论是十七世纪中最有势力的宇宙学.他是机械论哲学 的奠基人.这个机械论说：一切自然现象包括人体的作用，都可归 结到服从于力学定律的运动，但Descartes却把灵魂除外.他对于
II 8 第15章坐标几何 光学、特别对于透镜的设计感兴趣；他的《几何》的一部分和《折光》 都是讲光学的.他和Willebrord Snell分享了发现折光定律的荣 誉.他的科学工作，和他的哲学工作一样，是根本性的而且是革命 性的. Descartes的科学工作的另-一重要之点，是强调要把科学成果 付之应用（第11章第5节）.在这一点上，他同希腊人明白地公 开地决裂.为了人类的幸福而去掌握自然，他追究了许多科学问 题.由于他注意到数学的力量，他自然会给它寻找用途；对他来说， 数学不是思维的训练，而是一门建设性的有用科学.他与Fermat 不同，儿乎不注意美与协调性.他不推崇纯粹数学，认为把数学方 法只用到数学本身是没有价值的，因为这不是研究自然.那些为数 学而搞数学的人，是白费精神的盲目的研究者 4.Descartes在坐标几何方面的工作 Descartes既然断定方法的重要性，并断定数学可以有效地应 用到科学上去，他就把方法应用到几何.在这里，他对方法的普遍 兴趣和他对代数的专门知识，就组成联合力量.他对于下述事实， 深感不安：Euclid儿何中每一证明，总是要求某种新的、往往是 奇巧的想法，他明白地批评希腊人的几何过于抽象，而且过多地依 赖于图形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情况下，去练习 理解力.”他对当时通行的代数也加以批评，说它完全受法则和公 式的控制，以至于“成为一种充满混杂与晦暗、故意用来阻碍思想 的艺术，而不象一门改进思想的科学.”他因此主张采取代数和几 何中一切最好的东西，互相以长补短， 事实上，他所着手开发的，是把代数用到几何上去.他完全看 到代数的力量，看到它在提供广泛的方法论方面，高出希腊人的几 何方法.他同时强调代数的一般性，以及它把推理程序机械化和把
4.Descartes在坐标几何方面的工作 9 II 解题工作量减小的价值.他看到代数具有作为一门普遍的科学方 法的潜力.他把代数应用到几何的产物，是他的《几何》一书. 虽然他在这本书里用了改进的记号（这在第13章已提到）， 但这本书是不容易读的；许多模糊不清之处是故意搞的，他自吹说 欧洲几乎没有-一个数学家能懂他的著作；他只约略指出作图法和 证法，而留给别人去填入细节.他在一封信里，把他的工作比作建 筑师的工作，即立下计划，指明什么是应该做的，而把手工操作留 给木工与瓦工，他还说：“我没有做过任何不经心的删节，但我预见 到：对于那些自命为无所不知的人，我如果写得使他们能充分理 解，他们将不失机会地说我所写的都是他们已经知道的东西.”在 《几何》中，他又给了一些别的理由，例如，他不愿夺去读者们自己 进行加工的乐趣.后来有人给此书写了许多评注，使它易于了解. 他的思想必须从他书中许多解出的例题里去推测.他说，他之 所以刷去绝大多数定理的证明，是因为如果有人不嫌麻烦而去系 统地考查这些例题，一般定理的证明就成为显然的了，而且照这样 去学习是更为有益的， 在x几何》中，他开始仿照Vieta的方式，用代数来解决几何作 图的问题；后来才逐渐地出现了用方程表示曲线的思想.他首先指 出，几何作图要求对线段作加减乘除，对特别的线段取平方根，因 为这几种运算也包括在代数里，所以它们都可用代数的术语表出. 在考虑作图问题时，Descartes说，我们必须假定问题已经解 决，而用字母表示所有那些看来是作图所必需的已知和未知的线 段；然后，不管线段是已知的还是未知的，我们必须这样去解除困 难：弄清楚这些线段之间的相互关系，使得同一个量能够用两种 方式表示出来，这样就得到一个方程.我们必须求出与未知线段数 目相同的方程.如果方程不止一个，我们必须把它们组合起来，使 得最后只剩下一个方程，其中只有一个未知的线段，用已知的线段 表出.Descartes然后说明怎样利用该未知线段的代数方程来把
II 10 第15章坐标几何 它画出. 例如，假定某几何问题归结到寻求一个未知长度x,经过代数 运算知道满足方程2=a心+b3, 其中a,b是已知长度.于是由代数 学得出 「a3 (1) =受+√+ (Descartes不考虑负根).他画出心 ☒15.2 如下：作直角三角形NLM(图 15.2),其中LM=b,NZ=号.延长MN到0，使N0-NZ= 受、于是如就是OM的长度.Desres没有证明这个结论的正 确性，但是很明显 0M-0w+MN-受+√罕+F】 这就是说，由解一个代数方程而得到的(1)式，指明了x的画法. 在第一卷书的前一半中，Descartes用代数解决的，只是古典 的几何作图问题.这是代数在几何上的一个应用，并不是现代意义 下的解析几何.以上所说的问题，可以叫做确定的作图问题，因为 结果是一个唯一的长度.Descartes下一步考虑不确定问题，其结 果有许多长度可以作为答案.这些长度的端点充满一条曲线；他在 这里说，“也要求发现并且描出这条包括所有端点的曲线.”曲线的 描出，根据于最后得到的不定方程，此方程把未知的长度y用任意 的长度x表出.对此，Descartes着重指出，对于每个，长度y满 足一个确定方程，因而可以画出.如果方程是一次的或二次的，就 可以按照第一卷的方法，用直线和圆把y画出；对于高次方程，他 说将在第三卷中说明怎样画y. Descartes用Pappus(第5章第7节)的问题来说明当问题归 结到一个含有两个未知长度的方程时该怎么办.这问题（他并没有
,Descartes在坐标几何方面的工作 11n 普遍地解出)的叙述如下，在平面上给定三条直线，求所有这样的 点的位置（即轨迹）：从这点作三条直线各与一条已知线交于已知 角（三个角不一定相同），使在所得的三条线段中，某两条的乘积 (指长度的乘积)与第三条的平方成定比.如果给定四条直线，画 法同上，但要求在所得的四条线段中，某两条的乘积，与其余两条 的乘积成定比.如果给定五条直线，画法仍同上，但要求在所得的 五条线段中，某三个的乘积与 其余两个的乘积成定比.如果 给定的直线多于五条，作法照 此类推. Pappus曾宣称，当给定的 直线是三条或四条时，所得的 图15.3 轨迹是一条圆锥曲线.在第二卷中，Descartes处理了四条直线时 的Pappus问题.设给定的线（图15.3）是AG,GH,EF和AD.考 虑一点O,从点0引四线各与一条已知线交于已知角（四个角不 一定相同)，把所得的四条线段记为OP,CQ,CR和CS.要求找 出满足条件CP.OR=CS.CQ的点O的轨迹. Descartes记AP为x,记PO为g.经过简单的几何考虑，他 从已知量得出CR,OQ和CS的值.把这三个值代入CPCR= CS.CQ,他就得到一个x和y的二次方程 (2) y2=Ay+Bay+Ca+Da 其中A,B,C,D是由已知量组成的简单的代数式.于是他指出， 如果任意给心一个值，就得到一个y的二次方程；从这个方程可以 解出y,于是就能用直尺和圆规把y画出，象在第一卷里那样.由 此可知，如果我们取无穷多个心值，就得到无穷多个则值，从而得 到无穷多个点0.所有这些0点的轨迹，就是方程(2)所代表的 曲线。 Descartes的做法，是选定一条线（图15.3中的AG)作为基