d(x-a1)+(x+at)]+ v(ede at≥0 u(x, n=U(x, n p(r-an)+o(x+an+ H(2dE+ 2ds, x-at<o 进一步化为 d(x-a)+(x+a)+ Mede x-at≥0 (13) φ(x+a1)-(at-x)+ v(e)dE+ vr(ed 物理意义 (a)在t≤x/a时,解的形式(上式第一行)与无界情况完全相同, 因为在x发生的扰动,在t<x/a的时间内尚未到达x=0端,该端是固定还是延伸到无穷长,对波没有影响 (b)在t>x/a时,解的形式(上式第二行)与无界情况不相同 为在x发生的扰动已经传到x=0端,“发觉”该端被固定而非延伸到无穷,边界效应就显现,解当然有区别 下图分别展示无界和半无界的行波。为简单起见,下图假设(x)=0。 若x)≠0,可设h()=(x),则ax,0)中多了:1[m0x+a0-ha-x),与前一项1x+a0-(a1-x的形式完全相同
u(x, t) = U(x, t) = 1 2 [ϕ(x - a t) + ϕ(x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t ψ(ξ) ξ, x - a t ≥ 0 1 2 [Φ(x - a t) + ϕ(x + a t)] + 1 2 a x-a t 0 Ψ(ξ) ξ + 1 2 a 0 x+a t ψ(ξ) ξ, x - a t < 0 进一步化为： u(x, t) = 1 2 [ϕ(x - a t) + ϕ(x + a t)] + 1 2 a x-a t x+ a t ψ(ξ) ξ, x - a t ≥ 0 1 2 [ϕ(x + a t) -ϕ (a t - x)] + 1 2 a a t-x 0 ψ(ξ) ξ + 1 2 a 0 x+a t ψ(ξ) ξ, x - a t < 0 (1.3) 物理意义： (a) 在 t ≤ x /a 时，解的形式 （上式第一行 ） 与无界情况完全相同 ， 因为在 x 发生的扰动 ，在 t < x /a 的时间内尚未到达 x = 0 端，该端是固定还是延伸到无穷长 ，对波没有影响 。 (b) 在 t > x /a 时，解的形式 （上式第二行 ） 与无界情况不相同 ， 因为在 x 发生的扰动已经传到 x = 0 端，“发觉” 该端被固定而非延伸到无穷 ，边界效应就显现 ，解当然有区别 。 下图分别展示无界和半无界的行波。为简单起见，下图假设 ψ(x) = 0。 若 ψ(x) ≠ 0，可设 h′ (x) = ψ(x)，则 u(x, t) 中多了： 1 2 a [h(x + a t) -h(a t - x)]，与前一项 1 2 [ϕ(x + a t) -ϕ (a t - x)] 的形式完全相同。 6 z10a.nb
z10a.nba Clear [fl, g1] f1【x_]:=If[Abs[x丌-2丌]<丌/2,c。s[丌x],立 g1【x_]:=If【x20,f1【x] [[Black, Thick], [Red, Thick],[Blue, Thick)) manipulate 1 ga= Plot1【x],=f1[x-at],=f1【x+at (x,-75,7.5),PlotRange+[[-4, 8),(-1, 1)), Plotstyle+ps: 1 g=lot{fx],=g1[x-at],=q1[x+at]},{x,-7.5,7.5}, PlotRange→{{-4,8},(-1,1}}, Plotstyle→ps RegionFunction Function[[x, y],x>0] Grid[iiga, gb])] [t,0,10,0.01 下+囡口 可以看到,左行的波在遇到固定边界时被反射,反射波与左行入射行波之间相位差为x(见右图x=0处红蓝波形。) 这种反射波相对于入射波在相位上突变丌的现象,物理上成为半波损失 x=0处,反射波与入射波之和u(0,n=0。在时间足够长时,就只剩向右传播的波形 思考:(13)式表明当x-a1<0时,D=如+a0-1-是否表明存在一左行波一右行波 !是,这与在时间足够长时,只剩下向右传播的波形是否矛盾 2第二类齐次边条—偶延拓 定解问题 (x,0)=dx),a(r,0)=x20(出现边界x=0,在x=0需要边条) l2(0,D)=0 相当于一端自由的半无限长细杆纵振动 类似于第一类齐次边条,但这里要作偶延拓 半无界Ⅱ类齐次边条的延拓
Clear[f1, g1]; f1[x_] := If[Abs[x π - 2 π] < π / 2, Cos[π x ], ]; g1[x_] := If[x ≥ 0, f1[x], -f1[-x]]; a = 1; ps = {{Black, Thick}, {Red, Thick}, {Blue, Thick}}; Manipulate ga = Plot f1[x], 1 2 f1[x - a t], 1 2 f1[x + a t] , {x, -7.5, 7.5}, PlotRange {{-4, 8}, {-1, 1}}, PlotStyle ps ; gb = Plot f1[x], 1 2 g1[x - a t], 1 2 g1[x + a t] , {x, -7.5, 7.5}, PlotRange {{-4, 8}, {-1, 1}}, PlotStyle ps, RegionFunction Function[{x, y}, x > 0] ; Grid[{{ga, gb}}], {t, 0, 10, 0.01} t 2.1 -4 -2 2 4 6 8 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -4 -2 2 4 6 8 -1.0 -0.5 0.5 1.0 可以看到，左行的波在遇到固定边界时被反射，反射波与左行入射行波之间相位差为 π （见右图 x = 0 处红蓝波形。） 这种反射波相对于入射波在相位上突变 π 的现象，物理上成为半波损失。 在 x = 0 处，反射波与入射波之和 u(0, t) = 0。在时间足够长时，就只剩向右传播的波形。 思考：(1. 3) 式表明当 x - a t < 0 时，u(x, t) = 1 2 [ϕ(x + a t) -ϕ(a t - x)] 是否表明存在一左行波一右行波 ？ 如果是，这与在时间足够长时 ，只剩下向右传播的波形是否矛盾 ？ 2. 第二类齐次边条——偶延拓 定解问题： utt = a2 uxx x ≥ 0 （出现边界 x = 0，在 x = 0 需要边条 ） u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x) ux(0, t) = 0 相当于一端自由的半无限长细杆纵振动 (1.4) 类似于第一类齐次边条，但这里要作偶延拓。 半无界 II 类齐次边条的延拓： z10a.nb 7