数学分析思考题集
数学分析思考题集
目录 第一章函数 第二章数列极限 第三章函数极限 第四章函数的连续性 28 第五章导数与微分 第六章中值定理与导数应用 38 第七章极限与连续性(续). 第八章不定积分 第九章定积分…
目 录 第一章 函数.............................................................................................................. 1 第二章 数列极限....................................................................................................... 8 第三章 函数极限..................................................................................................... 22 第四章 函数的连续性............................................................................................. 28 第五章 导数与微分................................................................................................. 35 第六章 中值定理与导数应用.................................................................................. 38 第七章 极限与连续性(续)....................................................................................... 48 第八章 不定积分..................................................................................................... 52 第九章 定积分........................................................................................................ 57
第一章函数 思考题: 1.何谓函数,函数关系,函数值 2.函数y=f(x)与方程y=fx)在概念上有何区别? 3.怎样确定函数的定义域? 4.怎样才算完全确定了一个函数?应该如何规定两个函数相等?下面各对函数是 否相等? (1)f(x)=x,g(x)=(√x (2)f(x)=x-1,g(x) (3)f(x)=|x1|,g(x)=√x2 (4)(x)=√+1、√x-,g(x)=√x2-1 (5)f(x)= I, g(x)x-1)'+x 1,x<-1 (6)f(x)={x,-1≤x≤1,gx)={1+x|-|1-xB 5.若函数y=f(x)的反函数就是它本身,试问此函数的图象有什么样的特点? 6.下列函数是否是初等函数?说明理由 (1)f(x)=1|x (2)f(x)=(x+sinx) -C. X<-C 0 (3)f(x) (4)f(x)=1x c≤X≤ x≤0 7.设f(u)与u=q(x)能复合为f(o(x) (1)若f(u递增(递减),(x)递减,试研究f(q(x)的单调性 (2)若f(u)为奇(偶)函数,o(x)为偶(奇)函数,试研究f(q(x)的奇偶性 (3)若f(u为任意函数,q(x)为偶函数,试研究f(q(x)的奇偶性
·1· 第一章 函数 思考题： 1．何谓函数，函数关系，函数值？ 2．函数 y=f(x)与方程 y=f(x)在概念上有何区别？ 3．怎样确定函数的定义域？ 4．怎样才算完全确定了一个函数？应该如何规定两个函数相等？下面各对函数是 否相等？ (1)f(x)=x，g(x)=( x ) 2 ； (2)f(x)=x-1，g(x)= 2 x 1 x 1 − + ； (3)f(x)= | x | ，g(x)= 2 x ； (4)f(x)= x 1 x 1 + − ，g(x)= 2 x 1− ； (5)f(x)= 2x 1, x 1 1, x 1 − ，g(x)= 2 (x 1) x − + ； (6) 1, x 1 f (x) x, 1 x 1 1, x 1 − − = − ， 1 g(x) |1 x | |1 x |} 2 = + − − . 5．若函数 y=f(x)的反函数就是它本身，试问此函数的图象有什么样的特点？ 6．下列函数是否是初等函数？说明理由. (1)f(x)= | x | ； (2) xcosx f(x) (x sinx) = + ； (3)f(x)= sin x , x 0 x 0, x 0 ， (4)f(x)= c, x c x, c x c c, x c − − − . 7．设 f(u)与 u= (x) 能复合为 f( (x) )， (1)若 f(u)递增(递减)， (x) 递减，试研究 f( (x) )的单调性. (2)若 f(u)为奇(偶)函数， (x) 为偶(奇)函数，试研究 f( (x) )的奇偶性. (3)若 f(u)为任意函数， (x) 为偶函数，试研究 f( (x) )的奇偶性
(4)若f(u)为有界函数,o(x)为任意函数,试问fq(x)是否一定是有界函数? (5)若fu)为任意函数,q(x)为周期函数,试问f((x)是否一定是周期函数? 8.判断下列命题是否正确,为什么? (1)若fx)在va,B]<(a,b)上有界,则f(x)在(ab)上有界 (2)设fx)在ab]上有定义,且在v(aB)ca,b]上有界,则fx)在ab]上有界 9.适合下列条件的函数存在吗?为什么? (1)在R=(-∞,+∞)上严格递增的有界函数 (2)在R=(-∞,+∞)上严格递增的偶函数 (3)在R=(-∞,+∞)上严格递减的奇函数 (4)在(-C,C)内为偶函数,且在R=(-∞,+∞)上又为奇函数 (5)在R上严格递增的周期函数 10.设f(x)在R上有定义,且满足f(x)≠0,f(xy)=f(x)fy),试求f(1990 11.用肯定语气叙述:在(-∞,+∞)上 (1)f(x)不是偶函数;(2)(x)不是周期函数; (3)f(x)不是单增函数:(4)f(x)不是单调函数 12.用肯定语气叙述 (1)f(x)在{ab]上无下界; (2)f(x)在a,b)上没有零点; (3)(x)在(a,b)上没有比中点函数值大的点 13.若f(x)是一一对应的奇函数,试证其反函数也是奇函数 14.设f(x)满足关系式2f(x)+f(-)==(k为常数),证明:fx)为奇函数 15.设f(x)为(-∞,+∞)上的奇函数,且在[0,+∞)上严格增,求证:f(x)在(-∞,+ ∞o)上严格增 16.设0≤a≤1,函数fx)及g(x)对任意的x12x2分别满足 fax1+(1-ax2]≥af(x1)+(1-af(x2)及 g{ax1+(1-a2]≤ag(x1)+(1-a)g(x2) 且g(x)为单减函数,试证
·2· (4)若 f(u)为有界函数， (x) 为任意函数，试问 f( (x) )是否一定是有界函数？ (5)若 f(u)为任意函数， (x) 为周期函数，试问 f( (x) )是否一定是周期函数？ 8．判断下列命题是否正确，为什么？ (1)若 f(x)在 [， ] (a, b) 上有界，则 f(x)在(a, b)上有界. (2)设 f(x)在[a, b]上有定义，且在 ( , ) [a, b] 上有界，则 f(x)在[a, b]上有界. 9．适合下列条件的函数存在吗？为什么？ (1)在 R=(-∞, + ∞)上严格递增的有界函数. (2)在 R=(-∞, + ∞)上严格递增的偶函数. (3)在 R=(-∞, + ∞)上严格递减的奇函数. (4)在(- , )内为偶函数，且在 R=(-∞, + ∞)上又为奇函数. (5)在 R 上严格递增的周期函数. 10．设 f(x)在 R 上有定义，且满足 f(x) 0，f(x·y)=f(x)·f(y)，试求 f(1990). 11．用肯定语气叙述：在(-∞, + ∞)上 (1)f(x)不是偶函数； (2)f(x)不是周期函数； (3)f(x)不是单增函数； (4)f(x)不是单调函数. 12．用肯定语气叙述： (1)f(x)在[a, b]上无下界； (2)f(x)在 [a, b) 上没有零点； (3)f(x)在(a, b)上没有比中点函数值大的点. 13．若 f(x)是一一对应的奇函数，试证其反函数也是奇函数. 14．设 f(x)满足关系式 2f(x)+ 1 k f ( ) x x = (k 为常数)，证明：f(x)为奇函数. 15．设 f(x)为(-∞, + ∞)上的奇函数，且在 [0, ) + 上严格增，求证：f(x)在(-∞, + ∞)上严格增. 16．设 0 a 1 ，函数 f(x)及 g(x)对任意的 x , x 1 2 分别满足 1 2 1 2 f[ax (1 a)x ] af (x ) (1 a)f (x ) + − + − 及 g[ax (1 a)x ] ag(x ) (1 a)g(x ) 1 2 1 2 + − + − 且 g(x)为单减函数，试证：
gfax1+(1-a)x2)≤agf(x1)+(1-a)gf(x2) 17.设f(x)在(-∞,+∞)上严格增,且恒有ff(f(x)f(x),试证:必有fx)=x 18.若f(x)是在(-∞,+∞)上单增的偶函数,且f(0)=0,则f(x)=0 19.若f(x)满足条件:对x∈R有f(x+C)=-f(x)(C>0), 证明:fx)是以为周期的函数 20.设常数a>0,函数f(x)≠0,且fx+a) f(x)’X∈R,试证:fx)是以2a为周 期的周期函数 21.若y=f(x)(x∈R)的图形关于两直线x=a与x=b(a<b)对称,试证f(x)为周期函数 22.设f(x)和g(x)分别是以1和2为周期的函数,且==(m,n为互质的正整数) F(x)=f(x)+g(x), G(x)=f(x) g(x) 是以C=m1=nC2为周期的函数 23.证明:若fx)是以T为周期的周期函数,则fa(a>0)是以工为周期的周期函数 24.函数y=f(x)具有反函数的充要条件是什么? 25.选择填空 (1)奇、偶函数的定义域一定是 (AR (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A、B、C都不对 (2)函数fx)=| X SInx|ex,x∈(-∞,+∞)是 (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 )偶函数 x为有理数 (3函数D(x为无理数是 (A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数
·3· g[f (ax (1 a)x )] ag[f (x )] (1 a)g[f (x )] 1 2 1 2 + − + − . 17．设 f(x)在(-∞, + ∞)上严格增，且恒有 f[f(f(x))]=f(x)，试证：必有 f(x)=x. 18．若 f(x)是在(-∞, + ∞)上单增的偶函数，且 f(0)=0，则 f(x) 0. 19．若 f(x)满足条件：对 x R 有 f(x + )=-f(x) ( >0)， 证明：f(x)是以 为周期的函数. 20．设常数 a>0，函数 f(x) 0 ，且 f(x + a)= 1 f (x) ，x R ，试证：f(x)是以 2a 为周 期的周期函数. 21．若 y=f(x)(x R )的图形关于两直线 x=a 与 x=b(a<b)对称，试证 f(x)为周期函数. 22．设 f(x)和 g(x)分别是以 1 和 2 为周期的函数，且 1 2 n m = (m, n 为互质的正整数)， 证明： F(x)=f(x)+ g(x)， G(x)=f(x)·g(x)， 是以 =m 1=n 2 为周期的函数. 23．证明：若 f(x)是以 T 为周期的周期函数，则 f(ax)(a>0)是以 T a 为周期的周期函数. 24．函数 y=f(x)具有反函数的充要条件是什么？ 25．选择填空： (1)奇、偶函数的定义域一定是________. (A)R (B)关于原点对称的区间 (C)关于原点对称的点集 (D)A、B、C 都不对 (2)函数 f(x)= cosx | xsinx | e , x ( , ) − + 是________. (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 (3)函数 D(x)= 1, x 0, x 为有理数 为无理数 是________. (A)非奇非偶函数 (B)有界函数 (C)非周期函数 (D)偶函数