临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 第三章函数极限 、基本概念 1.函数极限的定义: (1)x→>+∞时函数极限的定义:设∫为定义在[a,+∞)上的函数,A为实数。若对任 给的E>0,存在正数M(≥a),使得当x>M时有|f(x)-Ak<E,则称函数∫当x→+∞ 时以A为极限。记作 limf(x)=A或∫(x)→>A(x→+∞) (2)x→x时函数的极限:设函数f(x)在点x的某个空心邻域U(x06)内有定义, A为定数,若对任给的vE>0,36(<6)>0,使得当04x-x0k时有f(x)-AkE, 则称函数∫当x趋于x时以A为极限(或称A为x→>x0时f(x)的极限),记作 imf(x)=A或(f(x)→>A(x (3)单侧极限的定义:设函数∫在U2(x0:)内有定义,A为定数。若对任给的 E>0,36(<)>0,使得当x<x<x0+6时有f(x)-AkE,则称数A为函数∫当x 趋于x时的右极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(x→x)或f(x+0)=A。 类似可给出左极限定义(U(x;0),x-0<x<x,limf(x)=A或 f(x)→>A(x→>x0-)或f(x0-0)=A) 二、基本定理 1.函数极限的性质定理 (1)唯一性定理:若极限limf(x)存在,则此极限是唯一的。 (2)局部有界性定理:若limf(x)存在,则∫在x的某空心邻域内有界 (3)局部保号性定理:若limf(x)=A>0,则对任何正数0<r<A,存在U(x)使
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 第三章 函数极限 一、基本概念 1. 函数极限的定义： ⑴ x → +∞ 时函数极限的定义：设 f 为定义在[ , a +∞) 上的函数，Ａ为实数。若对任 给的ε > 0 ，存在正数Ｍ(≥ a) ，使得当 x > M 时有 | ( f x) − A|< ε , 则称函数 f 当 x → +∞ 时以Ａ为极限。记作 lim ( ) x f x A →+∞ = 或 f x( ) → → A(x +∞) . ⑵ 0 x → x 时函数的极限：设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ;δ′ 内有定义， Ａ为定数，若对任给的∀ > ε 0,∃δ δ (< ′) > 0，使得当 0 0 | < x x − |< δ 时有| ( f x) − A|< ε ， 则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为极限（或称Ａ为 0 x → x 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x → = A或（ 0 f ( ) x A → (x → x ) . ⑶ 单侧极限的定义：设函数 f 在 0 0 U x( ;δ ) + ′ 内有定义，Ａ为定数。若对任给的 ∀ > ε 0,∃δ δ (< ′) > 0，使得当 0 0 x x < < x +δ 时有| ( f x) − A|< ε , 则称数Ａ为函数 当 趋于 f x 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x( ) A(x x ) → → + 或 0 f ( 0 x A + ) = 。 类似可给 出左极限 定义（ 0 0 U x( ;δ ) − ， 0 0 x −δ < <x x ， 0 lim ( ) x x f x → − = A 或 0 f x( ) A(x x ) → → − 或 0 f ( 0 x A − ) = ）. 二、基本定理 1. 函数极限的性质定理 ⑴ 唯一性定理：若极限 0 lim ( ) x x f x → 存在，则此极限是唯一的。 ⑵ 局部有界性定理：若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域内有界。 ⑶ 局部保号性定理：若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = > ，则对任何正数0 < r < A ，存在U x 0 ( 0 ) 使 - 1 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 得对一切x∈U(x)有f(x)>r>0;若imf(x)=A<0,则对任何负数A<r<0 存在U(x0),使得对一切x∈U°(x0)有f(x)<r<0 (4)保不等式性定理:设lmf(x)和img(x)都存在,且在某邻域U°(x6)内有 f(x)≤g(x),则lmf(x)≤limg(x)。 (5)迫敛性定理:设lmf(x)=limg(x)=A,且在某U°(x6”)内有 f(x)≤h(x)≤g(x),则lm(x)=A 2.函数极限的判定定理 (1)归结原则:设∫在U(x;6)内有定义,limf(x)存在分对任何含于U(x0;d”)且 以x为极限的数列{xn},极限lm∫(xn)都存在且相等 (2)设函数∫在x的某空心邻域U(x)内有定义,limf(x)=A台对任何以x为 极限的递减数列{xn}<U(x),有imf(x)=A (3)单调有界定理:设∫为定义有U(x0)上的单调有界函数,则右极限limf(x)存在 (4)柯西收敛准则:设函数∫在U°(x0;06)内有定义,imf(x)存在分→任给E>0, 存在正数6(<8”),使得对任何x,x"∈U(x0:)有f(x)-f(x)kE。 3.两个重要极限: SInx 1 =e或im(1+a)=e 三、基本要求 1.正确理解数列极限的E-N定义,并学会运用它验证给定的数列极限 2.掌握数列极限的性质,并能运用它证明或计算给定的数列极限 3.掌握数列极限存在的充要条件和充分条件,并能运用这些条件证明或判断数列极限 的存在性
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 得对一切 0 0 x∈U x( )有 f x( ) > > r 0 ；若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = < ，则对任何负数 ， 存在 ，使得对一切 A r < < 0 0 0 U x( ) 0 0 x∈U (x )有 f x( ) < r < 0 ； ⑷ 保不等式性定理：设 0 lim ( ) x x f x → 和 都存在，且在某邻域 0 lim ( ) x x g x → 0 0 U x( ;δ ′) 内有 f x( ) ≤ g(x) ，则 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g → → ≤ x 。 ⑸迫敛 性定理 ： 设 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → = = A ，且在某 0 0 U x( ;δ ′) 内 有 f x( ) ≤ ≤ h( ) x g(x) ，则 0 lim ( ) x x h x A → = 。 2. 函数极限的判定定理 ⑴ 归结原则：设 f 在 0 0 U x( ;δ ′) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在⇔ 对任何含于 0 0 U x( ;δ ′) 且 以 0 x 为极限的数列{xn} ，极限 lim ( ) n n f x →∞ 都存在且相等。 ⑵ 设函数 f 在 0 x 的某空心邻域U x + 0 ( 0 ) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x A → + = ⇔ 对任何以 0 x 为 极限的递减数列{ } 0 0 ( ) n x U x ⊂ + ，有 lim ( ) n n f x A →∞ = . ⑶ 单调有界定理：设 f 为定义有U x + 0 ( 0 ) 上的单调有界函数，则右极限 0 lim ( ) x x f x → + 存在。 ⑷ 柯西收敛准则：设函数 f 在 0 0 U x( ;δ ′) 内有定义， 0 lim ( ) x x f x → 存在⇔ 任给ε > 0 ， 存在正数δ (< δ ′) ，使得对任何 0 0 x x ′ ′ , ′∈U (x ;δ ) 有| ( f x′) − f x( ′′) |< ε 。 3. 两个重要极限： ⑴ 0 sin lim 1 x x → x = ⑵ 1 lim 1 x x e →∞ x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ 或 ( ) 1 0 lim 1 α e α α → + = . 三、基本要求 1. 正确理解数列极限的ε − N 定义，并学会运用它验证给定的数列极限。 2. 掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限。 3. 掌握数列极限存在的充要条件和充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限 的存在性。 - 2 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 熟掌重要极限+-,并运用它计算某些数列的极限 四、典型例题 x>( 例1.设f(x)= 试分别求f(0+0)和f(0-0),并讨论 的存在性 分析:函数是个分段函数,当x>0和x<0时表达式不相同,在求左极限和右极限时 要使用相应的表达式,即:f(0+0)= lim xsin-,f(0-0)=lim1 解:由于x>0时,有0<xsin-<x,故由极限的迫敛性知 x f(0+0)= lim xsin=0:另一方面,f(0-0)=1m1=1,于是f0+0)≠f(0-0), 故f(x)在x=0的极限不存在。 例2求下列极限:() lim sin(sin(sinx)(2)Ⅷx+n (n为整数) 解: (1)lim sin(sin(sin x)) sin(sin(sin x)) sin(sin x)sin x =1·1·1=1 x→0Sin(Sinx) sInx x+ n (2)im =lim 1+ =lim 1+ x-n 2 3x2+3x-912 例3验证lim x→+32x2-7x+3 312 证明:由x≠3
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 4. 熟练掌握重要极限 e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ 1 lim 1 ，并能运用它计算某些数列的极限。 四、典型例题 例 1. 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 1 1 sin ( ) x x f x ，试分别求 0 0 < > x x f (0 + 0) 和 ，并讨论 的存在性。 f (0 − 0) 分析：函数是个分段函数，当 x > 0 和 x < 0 时表达式不相同，在求左极限和右极限时 要使用相应的表达式，即： x f x x 1 (0 0) lim sin 0 → + + = ， (0 0) lim1 0 → − − = x f 。 解 ：由于 x > 0 时 ， 有 x x < x < 1 0 sin ， 故 由极限 的迫敛 性 知 0 1 (0 0) lim sin 0 + = = → + x f x x ；另一方面， (0 0) lim1 1 0 − = = → − x f ，于是 ， 故 在 的极限不存在。 f (0 + 0) ≠ f (0 − 0) f (x) x = 0 例 2. 求下列极限：⑴ x x x sin(sin(sin )) lim →0 ⑵ x x x n x n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim （ n 为整数） 解：⑴ 1 1 1 1 sin sin sin(sin ) sin(sin ) sin(sin(sin )) lim sin(sin(sin )) lim 0 0 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → → x x x x x x x x x x ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⋅ − →∞ →∞ →∞ →∞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + x n x n n x n x x x x x x n x n x n n x n x n 2 lim 2 2 1 lim 1 2 lim lim 1 n n e e 2 1 2 = = ⋅ 例 3 验证 2 7 3 5 2 →3 − + 3 3 9 12 lim 3 2 = − + − x x x x x x 证明： 由 x ≠ 3， ( )( ) ( )( ) 5 12 2 1 3 5 12 2 1 3 3 3 5 12 2 7 3 3 3 9 2 2 2 3 2 − − + − = − − + − − = − + − + − x x x x x x x x x x x - 3 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 为使5x-9=|5x-15+6≤5x-3+6511,需有x-3<1 为使2x-1|=2x-6+5≥5-2x-3>1,需有x-3 于是,倘限制0<x-3<1,就有 x3-3x2+3x-9125x-9x 2x2-7x+3 2x-1s1 lr 例4lin ax-b=0求a和b 解法一 -(a+1)x →b,(x→∞) →a+1=0,a=-1;又-a=b,→b=1 2 解法二 由x→∞且原式极限存在, 1+x Xx a--→0,即a=lim =-1, b=liml x+x r(x+x x 1+x 例5求1=lm(x2+1-x)1=lmx2+1-)并说明极限 li x是否存在 解:1=lim x+1+x
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 2 1 5 9 3 5 2 1 5 9 3 − − − ≤ − − − = x x x x x x 为使 5x − 9 = 5x −15 + 6 ≤ 5 x − 3 + 6 ≤ 11，需有 x − 3 < 1； 为使 2x −1 = 2x − 6 + 5 ≥ 5 − 2 x − 3 > 1，需有 x − 3 < 2； 于是, 倘限制0 < x − 3 < 1 , 就有 11 3.LL 2 1 5 9 3 5 12 2 7 3 3 3 9 2 3 2 ≤ − − − − − ≤ − + − + − x x x x x x x x x 例 4 0 1 2 lim 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − →∞ ax b x x x 求a 和b . 解法一： ( ) → ( ) → ∞ + − + − + = + − − − − = + − b x x a x ax x x ax ax ax x x , 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 ⇒ a +1 = 0, a = −1;又 − a = b,⇒ b = 1. 解法二： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + − − − = + − x b a x x x ax b x x x 2 2 2 2 1 2 ， 由 x → ∞ 且原式极限存在， ⇒ 0 2 2 2 − − → + − x b a x x x ，即 1 2 lim 2 2 = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = →∞ x b x x x a x ， 1 1 2 lim 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = →∞ x x x b x . 例 5 求 I ( x x) x = + − →+∞ lim 1 2 1 和 I ( x x) x = + − →−∞ lim 1 2 2 .并说明极限 ( x x) x + − →∞ lim 1 2 是否存在. 解： 0 1 1 lim 2 1 = + + = →+∞ x x I x ; - 4 -
临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 lim(2+1+= 可见极限imx2+1-x)不存在 五、复习题 1.用极限定义证明下列极限: (2)imx=3 x(x-1)1 (6)x2-5 2.用极限的四则运算法则求下列极限: x-1)3+(1-3x) x2-5x+6 (5)imx-(n,m为正整数) 3.设f(x)>0,证明:若imf(x)=A,则lim√f(x)=A,其中正整数n≥2 4.证明:若limf(x)=A,则imlf(x)|=|4|,但反之不真 5.求下列函数字所示点的左右极限 (1)f(x) 在x=1 x+2
临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 = ( + + ) = ∞ →+∞ =− I t t t x t lim 1 2 2 可见极限 ( x x) x + − →∞ lim 1 2 不存在. 五、复习题 1．用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 limx 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 limx 9 6 x → x − = − ； (3) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (4) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (5) 2 1 ( 1) 1 limx 1 2 x x → x − = − ； (6) 2 2 5 lim 1 x 1 x →∞ x − = − . 2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 limx 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 limx 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) limx 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 2 3 5 6 limx x x → x x − + − 8 +15 ； (5) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）； (6) 4 1 2 3 lim 2 x x x → + − − . 3．设 f x( ) > 0 ，证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim ( ) n n x x f x A → = ，其中正整数 n ≥ 2 . 4．证明：若 0 lim ( ) x x f x A → = ，则 0 lim | ( ) | | | x x f x A → = ，但反之不真. 5．求下列函数字所示点的左右极限： (1) 在 2 1, ( ) 1, 2 , 1, x f x x x x ⎧ 0 , > ⎪ = ⎨ 1 , = ⎪ ⎩ + < x =1 ； - 5 -