§35方阵的行列式 定义51设4=(an)是一个ˉ阶矩阵,则然地 确定了一个n阶行列式dea,这个行列式称为 A的行列式,记作|4或detA 行列式乘法定理设AB均为阶矩阵则ABHA‖Bl 证明设A=(a)B=(b)均为阶介矩阵则由 laplace 可得 A O A‖B| IB 上页下 圆回
§3.5 方阵的行列式 5.1 ( ) , det( ), , | | det . ij ij A a n A n a A A A 定义 设 = 是一个 阶矩阵 则 自然地 确定了一个 阶行列式 这个行列式称为 的行列式 记作 或 行列式乘法定理 设A,B n 均为 阶矩阵,则| AB|=| | A | | B . ( ), ( ) , A ij ij 证明 设 = = a B b 均为n阶矩阵 则由Laplace 可得 0 | || | . A A B I B =
将上式右端的行列式的第1列的-b倍,,第n列 的-bn倍都加到n+j列(j=1,2,…,n)可得 A-AB ABE 10 =(-1)2|I‖|-AB =(1"+n ABAB I 定义5.2设A是一个m×n矩阵的一个阶正 方子块的行列式政委的阶子式 由A=(a1)m的第,2,…,行及,1,…, 列所确定k阶子块记为 上页下 圆回
m n × 1 ,..., ( 1,2, , ) j nj b n b n j j n − − + = … 将上式右端的行列式的第1列的 倍 第 列 的 倍都加到 列 可得 | || | ( 1) | || | 0 ( 1) | | | | . n n n A AB A B I AB I AB AB + − = = − − = − = . . A m n A k A k 定义5.2 设 是一个 × 矩阵 的一个 阶正 方子块的行列式政委 的 阶子式 1 2 1 2 ( ) , , , , , , A ij m n k k a i i i j j j k 由 = × 的第 … … 行及 列所确定 阶子块记为
A 方2…J 即 112 k 「五2 式 1…M =deta …」 a a 方1ai a 国园國[回
1 2 1 2 , k A k i i i j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ "" 即 式 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 det . k k k k k k k k A A k k i j i j i j i j i j i j i j i j i j i i i i i i j j j j j j a a a a a a a a a ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎛ ⎧⎪ ⎪⎫⎞ ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎪⎟ ⎨ ⎬ = ⎜ ⎨ ⎬⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎪ ⎪⎟ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ = " " " " … " # # #
当A是n阶矩阵时,式 在A 中的余子式与代数余子式分别记为 1l2…k 112…k 式A ,代余式 Jk ˇ1p…J 显然 1 12 代余式4 =(-1)余式4 … 国园國[回
1 2 1 2 , A k k i i i A n A j j j ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ "" 当 是 阶矩阵时 式 在 中的余子式与代数余子式分别记为 式 代余式 1 2 1 2 1 2 1 2 , k k A A k k i i i i i i j j j j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ " " " " 显然 代余式 余式 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) , k k t A A k k i i i i i i j j j j j j ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ " " "
其中t=i+2+…+i+j+i2+…+j不过要 注意,这里余子式虽然是这样记法,但它实质 是一个n-k阶行列式,而非阶行列式 使用上面的记号, Laplace定理(按第i,2…,) 列展开)可表述为 「p12…k1(pP2…k 1A上∑五 j1方n2…k A A A 这里∑表示在1<2<…<p的要求下对 其一切可能求和 国园國[回
1 2 1 2 . , , , . k k t i i i j j j n k k = + + + + + + + − 其中 " " 不过要 注意 这里余子式虽然是这样记法 但它实质 是一个 阶行列式 而非 阶行列式 1 2 ,, , ) ) k 使用上面的记号,Laplace定理(按第j j … j 列展开 可表述为 1 2 1 2 1 2 1 2 | | , k k k k A A A j j j j j j µ ⎧ ⎫ µ µ µ ⎧ ⎫ µ µ µ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∑ " " " " 1 2 . k µ 这里∑ < 表示在µ µ <"< µ 的要求下对 其一切可能求和