第四章线性方程纽 §4.3线性方程组的解的结构 上一节,我们学习了: 1.线性方程组有解的条件 2.解线性方程组的Gaus消元法和主元消元法 这一节,我们将进一步讨论线性方程组的解的结构 注意:在上一节我们得到的都是参量形式的解,在本节 我们将把线性方程组的解都写成列向量的形式, 这便于讨论方程组的解的结构 下一页
第四章 线性方程组 §4.3 线性方程组的解的结构 上一节, 我们学习了: 1. 线性方程组有解的条件 2. 解线性方程组的Gauss消元法和主元消元法 这一节，我们将进一步讨论线性方程组的解的结构． 注意：在上一节我们得到的都是参量形式的解，在本节 我们将把线性方程组的解都写成列向量的形式， 这便于讨论方程组的解的结构. 下一页
首先考虑齐次(即常数项为0)线性方程组:AX=0 命题3.1齐次线性方程组AX=0只有零解当且仅当 A是列满秩矩阵 证明:AX=0只有零解>A的列向量线性无关 →A是列满秩矩阵 推论3.1当A是一个n阶矩阵时,线性方程组AX=0 有非零解的充分必要条件是系数行列式等于0. 命题3.2AX=0的有限个解的线性组合仍为AX=0的解 上页下 圆回
首先考虑齐次(即常数项为0)线性方程组: AX=0. 命题3.1 齐次线性方程组 AX=0 只有零解当且仅当 A 是列满秩矩阵. 证明：AX=0只有零解 A的列向量线性无关 A是列满秩矩阵 ⇔ ⇔ 推论3.1 当A是一个 n 阶矩阵时, 线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是系数行列式等于 0. 命题3.2 AX=0的有限个解的线性组合仍为AX=0的解
齐次线性方程组的解向量的集合称为解空间.解空间的 个极大无关组称为齐次线性方程组的一个基础解系 可见:线性方程组AX=0的每个解都能用基础解系线性 表示,并且基础解系的线性组合都是AX=0的解 所以,求AX=0的解,只需求它的一个基础解系. 个线性方程组的基础解系含有多少个解向量呢? 下面的定理回答了这个问题 定理3.1设AX=0是n元齐次线性方程组.若秩A=r 则AⅨX=0的一个基础解系恰为n个线性无关的解向量. 上页下 圆回
齐次线性方程组的解向量的集合称为解空间. 解空间的 一个极大无关组称为齐次线性方程组的一个基础解系. 所以，求AX=0的解，只需求它的一个基础解系. 可见：线性方程组AX=0的每个解都能用基础解系线性 表示. 并且基础解系的线性组合都是AX=0的解． 一个线性方程组的基础解系含有多少个解向量呢？ 下面的定理回答了这个问题． 定理3.1 设 AX=0 是 n 元齐次线性方程组. 若秩A=r , 则 AX=0 的一个基础解系恰为 n-r 个线性无关的解向量
定理3.1的证明 证明:如果AX=0有一个基础解系包含n个向量, 则任意n-个线性无关的解均为基础解系.因此我们 只需证明AX=0有一个基础解系恰包含n个解向量. 当r=n时,系数矩阵A是一个列满秩矩阵,故方程 组AⅨ=0只有零解,因此基础解系包含η-η=0个解向量 当r<n时,方程组有n个自由变量,故其参数形 式的解由nr个参数给出,设为 上页下 圆回
定理３.1的证明： 证明: 如果 AX=0 有一个基础解系包含 n-r 个向量, 则任意 n-r 个线性无关的解均为基础解系. 因此我们 只需证明 AX=0 有一个基础解系恰包含 n-r 个解向量. 当 r=n 时, 系数矩阵 A 是一个列满秩矩阵, 故方程 组AX=0只有零解, 因此基础解系包含 n-n=0 个解向量. 当 r<n 时, 方程组有 n-r 个自由变量, 故其参数形 式的解由 n-r 个参数给出, 设为
x1=-b1r+1t lIn ln-r x)= -b2r+I t1 n Xr rr+ bnt xr+1= (其中t,,…,r是任意数) Xn n 写成向量形式为 r+1 b XI b r+1 b r n X +…+tn-r r+ 1 X 上页下 圆回
x 1 −b1r1 t1 − −b1n tn−r x 2 −b2r1 t1 − −b2n tn−r xr −brr1 t1 − −brn tn−r xr1 t1 x n tn−r , (其中t t 1 2 , ,",tn r − 是任意数.) 写成向量形式为: 1, 1 1, 1 , 1 , 1 1 1 0 0 1 r n r r r r n n r r n x b b x b b t t x x + + − + ⎛ ⎞ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ − − ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = + ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ # # # " # # #