第一章几何空间中的向量 第一节数域与2阶、3阶行列式 数域约定 2阶行列式 3阶行列式 小结
第一章 几何空间中的向量 • 数域约定 • 2 阶行列式 • 3 阶行列式 • 小结 第一节 数域与2阶、3阶行列式
数域与2阶、3阶行列式 数域 数与数集的约定 N自然数集(包括0); z+正整数集; z整数集; Q有理数集; R+正实数集; R实数集; C复数集
数域与2阶、3阶行列式 一、 数域 数与数集的约定 复数集。 实数集； 正实数集； 有理数集； 整数集； 正整数集； 自然数集（包括 ）； C R R Q Z Z N + + 0
定义1-1:设是复数集的一个子集,如果P中包含 0与1,并且P关于加、减、乘、除(除数不为0)四 则运算是封闭的,即对于P中任意的a和b,恒有 a+b∈P,a-b∈P b∈P, P 则称P是一个数域( Number field) 显然,N和Z都不是数域,而Q、R、C都是数域, 分别称为有理数域、实数域、复数域
则称 是一个数域（ ） ， 则运算是封闭的，即对于 中任意的 和 ，恒有 与 ，并且 关于加、减、乘、除（除数不为 ）四 定义 ： 设是复数集的一个子集，如果 中包含 P Number field P b a ab P a b P a b P P a b P P + − − , 0 1 0 1 1 分别称为有理数域、实数域、复数域。 显然，N和Z都不是数域，而Q、R、C都是数域
例1-1数集Q(2)={+b2|a,b∈Q}是一个数域。 证明:因为 0=0+0×√2∈Q(2) 1=1+0×√2∈Q(2) 所以,Q(2)包括0和1 在Q(2)中任取两个数a+b2和c+d2,其中a,b, c,d∈Q,于是 (m+b2)土(c+d2)=(ac)+(b±d)2∈g(2) (a+b2)(c+d2)=(c+2bd)+(ud+bc)2∈Q(2) 所以,Q(2)关于加法、减法、乘法是封闭的
例1− 1 数集 Q( 2) = a + b 2 | a,bQ是一个数域。 所以， 关于加法、减法、乘法是封闭的。 （ ）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ） ，于是 在 中任取两个数 和 ，其中 所以， 包括 和 。 证明：因为 ( 2) 2 2 2 ( ) 2 ( 2) 2 2 ( ) 2 ( 2) , ( 2) 2 2 , , ( 2) 0 1 1 0 2 ( 2) 0 0 0 2 ( 2) Q a b c d ac bd ad bc Q a b c d a c b d Q c d Q Q a b c d a b Q Q Q + + = + + + + + = + + + = + = + 1
现设c+d√2≠0,于是c与l不全为0,则c-d2≠0,且 (c+d√2).(c-d√2)=c2-2d2≠0 所以 a+b√2(a+b√2)(c-d2 c+d√2(c+d、2)(c-d√2) ac-2bd bc-ad c2-22 2∈Q(2) c2-2d 即Q(2)对于除法是封闭的,Q(2)是一个数域。 例1-2数集Q(i)={+bia,b∈Q是一个数域 证明作为练习题
证明作为练习题 例1− 2 数集 Q(i) = a + bi | a,bQ 是一个数域。 即 对于除法是封闭的， 是一个数域。 （ ）（ ） ）（ 所以 （ ）（ ） 现设 ，于是 与 不全为 则 且 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 2 2 2 2 ( 2 2) 2 2 2 2 2 0 2 0 0, 2 0, 2 2 2 2 2 2 Q Q Q c d bc ad c d ac bd c d c d a b c d c d a b c d c d c d c d c d c d − − + − − = + − + − = + + + − = − + −