第一章几何空间中的向量 第三节空间坐标系 仿射坐标系 空间直角坐标系 向量运算的坐标表示 向量在轴上的投影
第一章 几何空间中的向量 第三节 空间坐标系 • 仿射坐标系 • 空间直角坐标系 • 向量运算的坐标表示 • 向量在轴上的投影
13空间坐标系 仿射坐标系 定理1-5在空间内任取三个不共面的向量a1,a2,a3, 那么对空间内任一向量a,都存在唯一的三个实数x1, 293 使得 a= ,a1t r,0+x,03 证明:略(也可仿照上一节推论1-2) 注:1.三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。 2.对于选定的三个不共面的向量,没有要求它 们一定互相垂直
1.3 空间坐标系 一、 仿射坐标系 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 2 3 , , 1 5 , , , x x x x x x = + + − ，使得 那么对空间内任一向量 ，都存在唯一的三个实数 定理 在空间内任取三个不共面的向量 证明：略（也可仿照上一节推论1-2） 注：1. 三个不共面的向量就足以表示空间中的所有 其它向量。 2. 对于选定的三个不共面的向量，没有要求它 们一定互相垂直
定义19在空间取定一点O及三个有次序的不共面 向量e1,2,e3就构成了空间的仿射坐标系 ( affine coordinate system),记作{O;t1,e2,3} 称点O为原点,称e1,e2,e2为基或基本向量 它们所在的直线分别称为x轴、y轴、z轴 注:取定仿射坐标系后,几何空间的向量与3元有 序组是一一对应的。 a=(x,y,z)称为向量的坐标表示
定义1-9 . , , ( ), { ; , , } , , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 它们所在的直线分别称为 轴、 轴、 轴 称点 为原点，称 为基或基本向量 记作 向量 ，就构成了空间的仿射坐标系 在空间取定一点 及三个有次序的不共面 x y z O e e e affine coordinate system O e e e e e e O 注：取定仿射坐标系后，几何空间的向量与3元有 序组是一一对应的。 = (x, y,z) 称为向量的坐标表示
定义1-10取仿射坐标系O;e1,e2,e3},对于空间的一 点M,向量OM称为点M的向径( radius vector),向径在坐标系下的坐标称为点M在 该坐标系下的仿射坐标( affine coordinate 若OM=(x,y,z),则记M的坐标为M(x,y,z) 注 1)在仿射坐标系下,点的坐标依赖于坐标原点O的 位置,而向量的坐标与原点O的位置无关。 2)3个坐标轴Ox,Oy,O决定了3个坐标平面xOy, yOz,zOx,称为坐标平面;坐标平面将空间分 成8个部分,称为8个卦限( octant)
定义1-10 ( , , ), ( , , ). ( ). , { ; , , } 1 2 3 OM x y z M M x y z affine coordinate vector M M OM M radius O e e e 若 则记 的坐标为 该坐标系下的仿射坐标 ）向径在坐标系下的坐标称为点 在 点 ，向量 称为点 的向径（ 取仿射坐标系 ，对于空间的一 = 注： 1) 在仿射坐标系下，点的坐标依赖于坐标原点O 的 位置，而向量的坐标与原点O 的位置无关。 2) 3个坐标轴Ox，Oy，Oz决定了3个坐标平面xOy， yOz，zOx，称为坐标平面；坐标平面将空间分 成8个部分，称为8个卦限( octant )
点的坐标的符号规定 卦限 坐标 ⅡⅢⅣV|ⅥⅦ|Ⅷ |+ + |+ +|++
卦限 坐标 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ x ＋ － － ＋ ＋ － － ＋ y ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － z ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － 点的坐标的符号规定