§2.3 Laplace定理 定义31设D是一个n阶行列式在D中 任意选定k个行,k个列(1≤k≤m) 1)这些行、列相交处的元素按其原有的 相对位置就构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式 2)这些行、列以外的元素按其原有的相 对位置就构成一个n一k阶行列式M 称为M的余子式;记为M 国园國[回
定义3.1 设D是一个n阶行列式,在D中 任意选定k个行, k个列(1 ≤ ≤k n), 1) 这些行、列相交处的元素按其原有的 相对位置就构成一个k阶行列式M , 称为D的一个k阶子式; 2) 这些行、列以外的元素按其原有的相 对位置就构成一个n k − 阶行列式M 称为M 的余子式;记为M '. §2.3 Laplace定理
3)(1)M称为M的代数余子式,其中 t=+…+k+方1+…+Jk 4)D的第行和第冽列确定的一阶子式恰 为D的第i行第例列的元素an,它的代数 余子式记为A 引理31行列式D的一个子式M和 它代数余子式A之积MA的展开式中的 每一项都是D的展开式中的一项 国园國[回
3) ' ( 1) − tM 称为M 的代数余子式, 其中 1 1 . k k t i = + " " + i + j + + j 4) D的第i行和第i列确定的一阶子式恰 为D的第i行第i列的元素aij ,它的代数 余子式记为Aij . 引理3.1 行列式D的一个子式M 和 它代数余子式A之积MA的展开式中的 每一项都是D的展开式中的一项
证明:设D=det(an)是一个m阶行列式, M是D的一个k阶子式首先考虑M位于 D的左上角的情况此时 Ik 1k+1 In M. D =/hI kk kk+1 4k+11 4k+1kk+1k+1 k+In M nk a nk+1 国园國[回
证明：设 det( ) D a = ij 是一个n阶行列式, M 是D的一个k阶子式. 首先考虑M 位于 D的左上角的情况. 此时 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 , ` k k n k kk kk kn k k k k k k n n nk nk nn a a a a M a a a a D a a a a M a a a a + + + + + + + + = " " # # # # " " " " # # # # "
而且A=(-1)+k+M′=M!现在, M的展开式中的一般项为 (-1)(npp P12P2 其中pp2…P是1,2,,k的一个排列 令b= k+计+/3≤ij<n k M′=()这是一个n一k阶行列式 它的展开式中的一般项为 Lk+g k+2, k+h nk+py 上页
其中 1 2 k p p " p 是1,2,…,k的一个排列. ,这是一个n k − 阶行列式, 而且 1 1 ( 1) . k k A M M + + + + + = − =′ ′ " " 现在, M的展开式中的一般项为 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) , k k p p p p p kp a a a τ − " " 令 , 1 , ij k i k j b a i j n k = + + ≤ ≤ − ,则 ( ) M ij ′ = b 它的展开式中的一般项为 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1, 2, , 1, 2, , ( 1) ( 1) , n k n k n k n k qq q qq q q q n k q k k q k k q n k p b b b a a a τ τ − − − + − + + + + − − = − " " "
其中P2…Dnk是12…,n-k的一个排 列注意到M展开式中的一般项是M和 M'的一般项之积,也就是 T(p,p2 Pk)+r(q,2-qn-ka P12P2 k+lk+q1 k+2k+q2nk+p 令Pk+1=k+q1,j=1,2,,n-k,则 P<pn其中1≤i≤k<m≤n故 z(D1…PkPk…pn)=(P1p2…pk)+(q192…qnk) 国园國[回
其中 1 2 n k p p p " − 是1,2,…,n k − 的一个排 列. 注意到MA展开式中的一般项是M 和 M ′的一般项之积, 也就是 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1) . k n k k n k p p p q q q p p kp k k q k k q n k p a a a a a a τ τ − − + + + + + + − " " " " 令 , 1,2, , , k j j p k q j n k + = + = … − 则 , i m p p < 其中1 . ≤ i k ≤ < m ≤ n 故 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ). k k n k n k τ p p p p τ τ p p p q q q " "+ = " + " −