§1.7有理数域上的多项式 定义71设∫(x)是一个整系数多项式,若f(x)的系数 的公因子只有±1,则称f(x)是一个本原多项式 Gauss引理两个本原多项式的乘积仍为本原多项式 证明设 f(x)=anx+…+a1x+ao2 g(x)=bnx+…+bx+b 是两个本原多项式令 国园國[回
§1.7 有理数域上的多项式 7.1 ( ) ( ) 1, ( ) f x f x ± f x 定义 设 是一个整系数多项式,若 的系数 的公因子只有 则称 是一个本原多项式. Gaus s引理 两个本原多项式的乘积仍为本原多项式. 1 0 1 0 ( ) , ( ) . m m n n f x a x a x a g x b x b x b = + + + = + + + " " 证明 设 是两个本原多项式 令
h(x)=f(x)g(x)=Cnnx"”+…+cx+C0 其中c=Σab,假设(x)不是本原多项式, i+j=k 出则有素数p能整除h(所有系数因为/(x)(x) 王都是木原多项式故有/(5≤m15/m 使得 pla.,pa,pia P|bo…p|b-,p+b 国园國[回
1 0 0 1 0 1 () ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) , (1 ,1 ) | , , | , , | , , | , . m n m n k i j i j k i i j j h x f x g x c x c x c c a b h x p h x f x g x i j i m j n p a p a p a p b p b p b + + + = − − = = + + + = ∑ ≤ ≤ ≤ ≤ " … … 其中 ,假设 不是本原多项式, 则有素数 能整除 的所有系数.因为 都是本原多项式,故有 使得 ? ?
注意到 生cn=abn+…+ab+ab+anb+…+anA 王而且p整除上式中除a以外的所有项因此也 必有pab,因为p是素数,故p1a或pb,与假设 矛盾,因此k(x)是本原多项式 国园國[回
0 1 1 1 1 0 , | | | ( ) i j i j i j i j i j i j i j i j i j c a b a b a b a b a b p a b p a b p p a p b h x + + = +" " + + − + + + + − + + 注意到 而且 整除上式中除 以外的所有项,因此,也 必有 .因为 是素数,故 或 ,与假设 矛盾,因此 是本原多项式
引理71每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积而且这样的分 王解在不计士号时是唯一的 王证明设/(是Q上的非零多项式则有整数口 使得af(x)的系数均为整数设b是f(x)的所有 系数的最大公因子,则有af(x)=bg(x),其中g(x) 是一个本原多项式,从而f(x)=(a/b)g(x)是 个有理数a/b和一个本原多项式g(x)之积 国园國[回
7.1 , ± 引理 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积 而且这样的分 解在不计 号时是唯一的. ( ) , ( ) . ( ) , ( ) ( ), ( ) , ( ) ( / ) ( ) / ( ) . f x a af x b af x af x bg x g x f x a b g x a b g x = = 证明 设 是 上的非零多项式 则有整数 使得 的系数均为整数设 是 的所有 系数的最大公因子 则有 其中 是一个本原多项式 从而 是 一个有理数 和一个本原多项式 之积 Q
假设还有f(x)=mh(x),其中r∈Q,h(x)是一个 王本原多项式令=c1,其中d∈Z那么 王(a/6)g(2(0(x而,ag(x)=b(x) 王因为g(x))都是本原多项式所以a和都 是a(x)=bx)系数的最大公因子,从而 ad=±bc于是r=c/d=±a/b,且有(x)=干8(x 国园國[回
( ) ( ), , ( ) . / , , , ( / ) ( ) ( / ) ( ), ( ) ( ). ( ), ( ) , ( ) ( ) , / / , ( ) ( ). f x rh x r h x r c d c d a b g x c d h x adg x bch x g x h x ad bc adg x bch x ad bc r c d a b h x g x = = = = = = ± = = ± = ∓ 假设还有 其中 是一个 本原多项式令 其中 那么 从而, 因为 都是本原多项式 所以 和 都 是 系数的最大公因子,从而 于是 且有 ∈ Q ∈ Z