北京交通大学：《几何与代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 几何空间中的向量（1.4）向量的积

第一章几何空间中的向量 第四节向量的积 向量的数量积 向量积 混合积 小结与思考题

第一章 几何空间中的向量 第四节 向量的积 • 向量的数量积 • 向量积 • 混合积 • 小结与思考题

14向量的数量积、向量积与混合积 、向量的教量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F|cose(其中6为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 定义向量在与b的数量积为a·b d·b=l‖bc0s6(其中为与b的夹角)

1.4 向量的数量积、向量积与混合积 一、 向量的数量积 一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 启示 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义

6 d·b=l‖! 6 cos 6 b cos0=Prjb, acos=Prjba d·b=bPrj=| aPril 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

关于数量积的说明: I·=a 证∵6=0,∴l·a=l‖lic0sb=l (2)a·b=0←→a⊥b 证(→):a·b=0,|a≠0,|b≠0, c0S6=0,0=兀 d⊥b 2 T (÷):d⊥b,6 cos=0 2 d·b=bc0s=0

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  cos = 0, a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0, a  b =| a || b | cos = 0.      = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证  = , 2  , 2   =

数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·G; (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c; (3)若为数:(4a)·b=a·(4b)=(a·b), 若九、数:(n)·(pb)=4(a.b)

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  