§3.3分块矩阵 本节将把前面对于数字矩阵的讨论推广到 分块矩阵分块矩阵是一种非常有用的工具,使用 分块矩阵可使表达更简洁.分块矩阵主要来自两 个方面:一方面,用一些已知的矩阵矩堆砌砌成分 块矩阵;另一方面,把一个矩阵矩分割分成一个 分块矩阵:假想在一个矩阵的行之间加上一些横 线、列之间加上一些竖线,这样就把一个矩阵分 成了一些小矩阵(称为子块或子矩阵)把每个子 块看成一个“元素”,这个以子块为元素的矩阵就 是一个分块矩阵例如,设
§3.3 分块矩阵 本节将把前面对于数字矩阵的讨论推广到 分块矩阵.分块矩阵是一种非常有用的工具,使用 分块矩阵可使表达更简洁. 分块矩阵主要来自两 个方面:一方面,用一些已知的矩阵矩堆砌砌成分 块矩阵; 另一方面,把一个矩阵矩分割分成一个 分块矩阵: 假想在一个矩阵的行之间加上一些横 线、列之间加上一些竖线, 这样就把一个矩阵分 成了一些小矩阵(称为子块或子矩阵),把每个子 块看成一个“元素”, 这个以子块为元素的矩阵就 是一个分块矩阵.例如, 设
10000 01000 A= 20123 02234 123 令B 则A可写成一个2×2的分快矩阵 (234 0 2×3 A 21 2 B 可根据需要把一个矩阵分成各种各样的分快矩阵,下 面是几种常用的分快方法 1.把A整个分成块此时A就是一个x1的分快矩阵; 2把A的每行(列或若干行(列看成块比如把A按列分 块成4=(a1a2…an),其中表示的第列 上页下 圆回
1 0 000 0 1 000 201 2 3 0 2 234 A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 , 2 2 234 B A ⎛ ⎞ = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 令 则 可写成一个 的分快矩阵 2 2 3 2 0 . 2 I A I B ⎛ ⎞ × ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 可根据需要把一个矩阵分成各种各样的分快矩阵 , 下 面是几种常用的分快方法 ; 1. A把 整个分成一块,此 时A就是一个1 × 1 的分快矩阵; ( ) 1 2 2. A ( ) ( ) , . A A n i = α α " α α i 把 的每一行 列或若干行 列看成一块. 比如,把A按列分 块成 其中 表示 的第 列
3把一个矩阵分成一个2×2的分块方阵(442 /并使是一个方阵 4.把Am的每一个元素看成一块此时A就是一个m×n矩阵 分块矩阵,当然,这和不分块的A是一样的 相加的两个分块矩阵的分块形式必须完全一致; 相乘的两个分块矩阵中,前面矩阵的列的分法和后面矩 阵的行的分法必须完全一致 设A是一个m×n矩阵,B是一个nxp矩阵,而且,对 的列的分法和对B的行的分法一致,则所得的两个 分块矩阵就可和通常的矩阵一样去乘.具体地,设 上页下 圆回
1 2 1 3 4 3. 2 2 , A A A A A ⎛ ⎞ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 把一个矩阵分成一个 的分块方阵 并使 是一个方阵 m m 4. A , 把 × 的每一个元素看成一块 此时A就是一个m × n矩阵 分块矩阵,当然,这和不分块的A是一样的. . 相加的两个分块矩阵的分块形式必须完全一致; . 相乘的两个分块矩阵中,前面矩阵的列的分法和后面矩 阵的行的分法必须完全一致. , , , , A m n B n p A B 设 是一个 × × 矩阵 是一个 矩阵 而且 对 的列的分法和对 的行的分法一致 则所得的两个 分块矩阵就可和通常的矩阵一样去乘.具体地,设
A 2 m BB B 12 BB B B= BB s 2 B 则A,B作为分块矩阵的乘积是 国园國[回
} } } 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 s s r r rs r A A A m A A A m A A A A m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ "" # # # # " } } } 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 t t s s st s B B B n B B B n B B B B n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ "" # # # # " 则 A B, 作为分块矩阵的乘积是
p1~p2 ≈Pt C11C12 It 21 22 2t}m2 C r1 r2 Crt)mr 其中 n Cn=A1B1y+A2B21+…+AmBn=∑ABy, 1≤i≤r,1≤j≤t 直接验证即知,无论对AB怎样分块,它们作为分块矩 阵的乘积都和原来为分块是的乘积相同,即C=AB 上页下 圆回
P 1 2 P P 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 } } } p p p t t t r r r t r C C C m C C C m C C C C m ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " … " # # # # " 其中 1 1 2 2 1 , 1 , 1 . n ij i j i j in nj ik kj k C A B A B A B A B i r j t = = + + + = ≤ ≤ ≤ ≤ " ∑ 直接验证即知，无论对A,B怎样分块，它们作为分块矩 阵的乘积都和原来为分块是的乘积相同，即C=AB