§2.2行列式的基本性质 引理对一个排列作一次对换后, 排列的奇偶性改变 证明设所考虑的排列为 B:P1…P1…p…P n 将排列中的两个数p和P对换,则新 排列为 P:P…PD…P…P 国园國[回
§2.2 行列式的基本性质 引理 对一个排列作一次对换后, 排列的奇偶性改变 证明 设所考虑的排列为 1 1 : , P p " "pi j p "pn 将排列中的两个数pi 和 pj对换, 则新 排列为 2 1 : . P p " "pj i p "pn
首先证明,当这两个元素相邻时,即 1+1时,P和P2的奇偶性不相同 若<P中则易知P2的反序数比P1 反序数大1;若P>P+,则易知P2的反 况,P和P2的反序数的奇偶性都不 相同,故P和P2的奇偶性不相同 现在考虑一般情况注意到要把Pi 和D对换可通过一系列的相邻元素 的互换来实现 国园國[回
首先证明,当这两个元素相邻时,即 j i = + 1 时, P 1 和 P 2的奇偶性不相同. 若 1, p p i i < + 则易知 P 2的反序数比 P 1 反序数大1; 若 1, p p i i > + 则易知 P 2的反 序数比 P 1的反序数小1. 无论哪种情 况, P 1 和 P 2 的反序数的奇偶性都不 相同,故 P 1 和 P 2的奇偶性不相同. 现在考虑一般情况.注意到,要把 p i 和pj对换,可通过一系列的相邻元素 的互换来实现:
先把P依次与其后面的p+1…P 互换,共j-1次;接着再将P依次与其前 面的P1…,P+1互换共-1-1次总 计进行了2+2-1次相邻互换便将P1 斗变成因为每次互换两个相邻元素后 排列的奇偶性改变一次所以经过了 2j-21-1次奇偶性的改变后,P变成了 P2于是P和P2的奇偶性必不相同 国园國[回
先把p i依次与其后面的 1, , p p i j + … 互换, 共 j − i 次;接着再将 pj 依次与其前 面的 1 1 , , p p j − … i+ 互换,共 j i − − 1 次.总 计进行了2 2 j + i − 1次相邻互换,便将 P 1 变成 . 因为每次互换两个相邻元素后, 排列的奇偶性改变一次,所以经过了 2 2 j − −i 1次奇偶性的改变后,P 1变成了 P 2 , 2 P . 于是,P 1 和 P 2 的奇偶性必不相同
设 a11a12…·a1n 1 a21: an1 a21a2 a2 a12 a22: an2 D= D anand a n1 a2n: ar 即,D是把D的行作为列而得到行列式 D称为D的转置行列式,显然D也是 D的转置行列式 国园國[回
设 11 21 1 11 12 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 , . n n n n n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a D D a a a a a a = = ′ " # " # " " " " # # # # " # 即, D′是把D的行作为列而得到行列式. D′ 称为D的转置行列式,显然, D 也是 D′的转置行列式
性质1行列式与其转置行列式相等 证明由行列式的定义可知D的展开 式中的一般项为 (-1)(apn8p12…n 现在对换其中的因子以使行标排列成为自 然排列那么,列标排列同时由自然排列变成 另外一个排列,设为992…gn引理可知 它与排列PPPn的奇偶性相同因此, (-1)⑨np2m)=(-1)9m). 于是,上面的一般项实际上等于 国园國[回
性质1 行列式与其转置行列式相等 证明由行列式的定义可知, 的展开 式中的一般项为 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) . n n p p p a a p p ap n τ − " " D′ 现在对换其中的因子以使行标排列成为自 然排列,那么,列标排列同时由自然排列变成 另外一个排列, 设为 . 由引理可知, 它与排列 p p1 2 "pn 的奇偶性相同.因此, 1 2 . q q "qn 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 1) . τ τ p p pn n q q q − = − " " 于是,上面的一般项实际上等于