§4.2随机变量序列的两种收敛性 在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了 = a (n→o) - 即随机变量序列{依概率收敛于常数a这么一个概念。我 们自然可以把所讨论的问题推广到a不是一个常数，而是一 个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。 定义4.2设有一列随机变量71,72,73， 如果对任意的>0都有
limP.-刀l<e (4.6) 则称随机变量序列{们}依概率欢致于门，并记作 limn,产→7 或 几g”→7 (n-→co】 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛 的一种特殊情况。我们已经知道分布函数全面地描述了随机 变量的统计规律，如果已知”→刀(n→o),那么它
们相应的分布函数耳(x)与F(x)之间的关系会有什么样 的关系呢？一个猜测是，对所有的x,都有耳(x)→F(x) (→co)成立，这个猜测对不对呢？让我们看一个很简单的 例子。gjzsj 例42设门，？都是服从退化分布的随机变量，且P (7=0)=1 p(s-1）=1,n=1,2…
1 于是对任给的￡>0，当n>二时有 P(阳-≥E)P(的≥E)=0 所以 ”→7 (n→co) 成立。又设几，们的分布函数分别为F(x),耳(x),则 F()=1x>0 2,x≤0
1x-1 F(x)= 招 1 2,x≤- 显然，当8≠0时， lim耳(x)=F(x) 成立，当=0时， g1z81 lim?(0)=lim1=1≠0=F(0) 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某 个随机变量，相应的分布函做列不一定是在每一点上都收敛