第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1大数定理 *在本课程一开始引入概率这个概念时，我们 曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次 数n的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾 经指出，当n很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问： 这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟 是什么意思？与数学分析中的极限概念有关 系吗？这个问题提得非常好，前面提到的 “逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直 观的说法，它的严格的数学家意义确实需要 我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问 题
第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 大数定理 在本课程一开始引入概率这个概念时，我们 曾经指出，频率是概率的反映，随着观察次 数n的增大，频率将会逐渐稳定到概率。还曾 经指出，当n很大时，频率会概率是会非常 “靠近”的，某些读者可能早就有了疑问： 这里说的“逐渐稳定”和非常“靠近”究竟 是什么意思？与数学分析中的极限概念有关 系吗？这个问题提得非常好，前面提到的 “逐渐稳定”和非常“靠近”都只是一种直 观的说法，它的严格的数学家意义确实需要 我们进一步阐明，本章就是要讨论这一类问 题
若事件A在一次试验中发生的概率为p,如果观察了 次这样的试验（也就是一个n重贝努里试验），事件A共发 生了4次，则事件A在n次观察中的频率为/？，当n 增大时频率逐渐稳定到（或“靠近”）概率，是否就是数学分 析中的极限？也就是是否有 成立呢？如果是这样，为什么不说“频率以概率为极限”，岂 不干脆利落！但是读者应该觉察到，上述这种极限关系是不 成立的，因为这个极限关系意味着，对任给的8>0，存在 充分大的整数N,使对一切>N都有
(4.1) 成立。而我们知道，频率4/a是随着试验结果而变的，在 重贝努里试验中，下面的试验结果：gz A,A,…,A(1n个A出现) 还是可能发生的，当出现这样的结果时，从，于是 4/2=1,从而当很小时(0<E<1-p),不论H多大，也不 能得到当n时，都有
<8 成立，所以形如(4.1)极限关系并不成立。但是当n很大时 发生的可能性是很小的。例如上述的4， 发生的可能性为 P告=小R4 =P在11次独立试验中A出现山次)中
显然，当n→o时这个概率趋向于零。所以，频率“靠近” 概率不是意味着极限关系式(4.1)，而是意味着 哈小0a 其中是任一大于零的常数，这就是下面的贝努里定理。 风努里定理： 设4，是n重贝努里试验中事件A出 现的次数，又在每次试验中出现的概率为p(0<p<1),则对 任意的>0，有 P怡-小小-1 (4.2)