§6.4 充分统计量 我们先分析一下上节中导出的罗一克拉美不等式中等号 成立的充要条件(6.26)。 log f(; 日) =K(1-0) L1 a0 其中K不依赖于 51, 2 72 而可能依赖于θ。 对这等式两端求对的积分 log f(;) d0=A(0)n+B(0)+C（51, a 5 2 S 72
或者 1ogL=1ogΠf(x;)=A(⊙)y+B()+C(X1, i-1 X2,…,Xw） (6.43) 这里y=u(区1，X2，…,X)。由此得出，似然函数L (X1,X2,…,X)有形状 Le4(),+B(9)hX1,X2,…, (6.44)
这里h(X1,X2,…,X:)=eCW不依赖于， A(8)和B(8)只是日的函数，所以使罗一克拉美不等式中等 号成立的条件有下列两个： (1)似然还数L能分解成两个因子，即 L(8:X1,…,Xx）=gy;8)h(X1, X2,…,X然） (6.45) 其中第一个因子只依赖于y和B,第二个因子在y值已知时不 依赖于8； (2)第一个因子有指数型分布
A(),+B(8) g(y;0)=e (6.46) 满足条件(1)的统计量称为参数8的充分统计量.满足 条件(2)的门的分布为指数型分布。反过来，如果一个无偏估 计是充分的，且其分布为指数型，那么这个就是一个有效估 计。下面我们将分别研究充分统计量和指数型分布。 在引入充分统计量的概念以前，我们先说明了的直观含 义。 我们知道统计量是子样的函数，它把子样中所含的有关
所研究问题的信息集中起来作为我们进行统计推断的依据。 由于统计量有很多，那么怎样的统计量是最佳的呢？直观的 想法是，一方面要尽可能地简单，另一方面又要能提供子样 所含的“全部信息”。 怎样理解“全部信息”呢？在数理统计学中，子样1， 专2，一，专m给我们提供了母体的信息。如果母体的概 率函数依赖于参数日，子样当然也包含日的信息，但是依赖 于子样的统计量脚不一定包含日的全部信息。例如在一般 情形下，子样的联合概率还数（即似然还数）能分解成