第二节 第九章 二重积分的计算法 、利用直角坐标计算二重积分 、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法 Q团p
*三、二重积分的换元法 第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第九章
利用直角坐标计算二重积分 由曲顶柱体体积的计算可知当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时,若D为X-型区域y=2x) D:01(y2(x) D asxs b y 则「1/(x,y)dxdy=dx f(x, y)d ,p,(r)br D 1(x) 若D为Y型区域D:1(y)≤xv2() (y) C≤y≤d 则f(x,y)dxdy=d v2(y) f(x, y)d Jy,(y XX Q团p
一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y) 0 a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为X – 型区域 则 b ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x o x y D a x 若D为Y –型区域 c y d y x y D ( ) ( ) : 1 2 o y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d c y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 d c 则 d y
当被积函数f(x,y)在D上变号时,由于 f(x, y) f(r,y)+f(, y)f(,y)-f(, y) 2 fi(r,y) f2(x,y)均非负 ,S(x, y) dxdy=/(x, y )dxdy f2(x,y)dxd y 因此上面讨论的累次积分法仍然有效. Q团p
当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效. 由于
说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域, 则有f( (x, y)dxdy D y=(2(x) b rp2(x) dx f(, y)dy x x=2(y) J1(x) 2(y) f(x, y)dx v1(y) ol a X b x 为计算方便可选择积分序,必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂可将它分成若干y X型域或Y型域,则 ∫n=∫D+∫D,+ X Q团p
y 说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域, D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o D ( ) 1 x = y 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y x y a b ( ) 2 x = y d c o x (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 , = + + D D1 D2 D3 则
例1计算=Dyo,其中D是直线=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 1≤y≤x 解法1.将D看作X型区域,则D 1<x<2 ∫dFy=[x1下ux x Idx= 解法2将D看作Y型区域,则D/Jsx≤201x2 1≤y≤2 Ⅰ= d yl xydx= 7xy」dy= 2y-2y3]y Q团p
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1.计算 d , = D I xy 其中D 是直线y＝1,x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1.将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2.将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y x 1 x 2 y x 2 1 y 2